Problem P. 4981. (December 2017)

P. 4981. An object of mass \(\displaystyle m\) and of speed \(\displaystyle v\) is shot through the suspended object of mass \(\displaystyle M\), as shown in the figure, and leaves it at a speed of \(\displaystyle v/2\). The hung object of mass \(\displaystyle M\) is first suspended on a negligible mass rigid rod of length \(\displaystyle \ell\), and second it is suspended on a thread of length \(\displaystyle \ell\). After the object of mass \(\displaystyle M\) was shot through, it moves along the circular path of radius \(\displaystyle \ell\) in both cases. Determine the values of the necessary speed of \(\displaystyle v\) in both cases. What is the ratio of these speeds?

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A lendületmegmaradás miatt az \(\displaystyle M\) tömegű test sebessége az átlövése után

\(\displaystyle u=\frac{m}{M} \,\frac{v}2,\)

a pálya legmagasabb pontjában pedig (az energiamegmaradás törvénye szerint)

\(\displaystyle w=\sqrt{u^2-4g\ell}.\)

Ha az \(\displaystyle M\) tömegű test a fonálon függ, akkor a fonalat feszítő erő a pálya legmagasabb pontjánál

\(\displaystyle F=\frac{mw^2}{\ell}-mg\ge 0.\)

(Ha ez nem teljesülne, a fonál meglazulna). Innen következik, hogy

\(\displaystyle u \ge \sqrt{5\ell g},\)

azaz

\(\displaystyle v\ge\frac{2M}{m}\sqrt{5\ell g}=v_\text{fonál}.\)

Amikor az \(\displaystyle M\) tömegű test a merev pálcán függ, a pálcában nyomóerő is felléphet (\(\displaystyle F\) lehet negatív is). A körülfordulás feltétele most az, hogy a test sebessége még a pálya legmagasabb pontján se csökkenjen nullára, vagyis

\(\displaystyle w=\sqrt{u^2-4g\ell}>0,\)

azaz

\(\displaystyle u>\sqrt{4\ell g},\)

tehát

\(\displaystyle v\ge\frac{2M}{m}\sqrt{4\ell g}=v_\text{pálca} .\)

Leolvashatjuk, hogy az átforduláshoz szükséges sebességek aránya:

\(\displaystyle \frac{v_\text{fonál}}{v_\text{pálca}}=\sqrt{\frac{5}{4}}\approx 1{,}12.\)

Statistics:

93 students sent a solution.
4 points:	Andorfi István, Balaskó Dominik, Balog 518 Lóránd, Beke Csongor, Berke Martin, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Felföldi Gábor, Geretovszky Anna, Gulácsi Máté, Háder Márk István, Hajnal Dániel Konrád, Horváth 999 Anikó, Jánosdeák Márk, Kálóczi Kornél, Kiszli Zalán, Klučka Vivien, Kozák András, Lénárt Martin, Lipták Gergő, Magyar Máté, Magyar Róbert Attila, Máth Benedek, Merkl Gergely, Molnár 957 Barnabás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Richlik Róbert, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Surján Botond, Szanda Márton, Tófalusi Ádám, Vass Bence, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Zirci Márton.
3 points:	15 students.
2 points:	9 students.
1 point:	17 students.
0 point:	7 students.

Problems in Physics of KöMaL, December 2017