Problem P. 4986. (December 2017)

P. 4986. At each vertex of an equilateral triangle a point-like charge \(\displaystyle Q\) is fixed. A point-like charge of mass \(\displaystyle m\) and of charge \(\displaystyle q\) is oscillating in the middle of the triangle along one of the medians of the triangle. The amplitude of the oscillation is much smaller than the diameter \(\displaystyle D\) of the circumscribed circle of the triangle.

What is the angular frequency of the oscillation? (Consider only the electric forces.)

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a középső töltés kicsiny \(\displaystyle x\) távolsággal elmozdul a súlyvonal mentén, akkor a rá ható eredő elektromos erő:

\(\displaystyle F(x)=kqQ\left(\frac{1}{(R+x)^2}-2\frac{(\frac12R)-x}{\left(R^2-Rx+x^2\right)^{3/2}} \right).\)

(\(\displaystyle R=\tfrac12D\) a \(\displaystyle q\) és az egyik \(\displaystyle Q\) töltésű test távolsága, vagyis a körülírt kör sugara.) Ha az \(\displaystyle x/R\ll 1\) mennyiség egynél magasabb hatványait 1 mellett elhanyagoljuk, továbbá alkalmazzuk az \(\displaystyle \left(1+\frac{x}{R}\right)^n\approx 1+n \frac{x}{R}\) formulát, az erőre ezt a képletet kapjuk:

\(\displaystyle F(x)=-12\frac{kqQ}{D^3}\, x.\)

Ez megegyezik egy

\(\displaystyle D_\text{rugó}=12\frac{kqQ}{D^3}\)

rugóállandójú rugó által kifejtett rugalmas erővel, tehát a rezgés körfrekvenciája:

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D_\text{rugó}}{m}}=\sqrt{12\frac{kqQ}{D^3m}}.\)

Megjegyzések. 1. A mozgás csak akkor lesz stabil rezgés, ha – valamilyen módon – biztosítjuk, hogy a \(\displaystyle q\) töltésű test csak a háromszög síkjában mozoghasson. A háromszög síkjára merőleges irányban (már a legkisebb ilyen irányú eltávolodás esetén) a testre taszítóerő hat, ami egyre gyorsuló ütemben eltávolítja a \(\displaystyle q\) töltésű testet az (instabil) egyensúlyi helyzetétől.

2. Belátható, hogy a középső test nemcsak a súlyvonal mentén, hanem a súlyponton átmenő bármelyik (a háromszög síkjában fekvő) egyenes mentén ugyanakkora körfrekvenciájú rezgést végezhet.

Statistics:

32 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Bíró Dániel, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Makovsky Mihály, Németh Csaba Tibor, Póta Balázs, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám.
4 points:	Andorfi István, Berke Martin, Bukor Benedek, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Fajszi Bulcsú, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Kondákor Márk, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid, Shirsha Bose.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, December 2017