Problem P. 4987. (December 2017)
P. 4987. The flux linkage of a circular copper loop of radius \(\displaystyle R\) and of cross sectional area \(\displaystyle A\), is changing in time as \(\displaystyle \Phi(t)=\Phi_0-kt\). The loop is in uniform magnetic field and the magnetic induction is perpendicular to the plane of the loop.
\(\displaystyle a)\) What is the tension in the loop at the moment of \(\displaystyle t_0\)?
\(\displaystyle b)\) What is the value of the current in the loop at the moment when the magnetic induction is zero?
Data: \(\displaystyle R=\)10 cm, \(\displaystyle A=0.5~\rm mm^2\), \(\displaystyle \Phi_0=0.04\) Vs, \(\displaystyle k=5\) mV, \(\displaystyle t_0=2\) s.
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A körvezetőben a változó mágneses fluxus miatt feszültség indukálódik:
\(\displaystyle U=\frac{\Delta \Phi(t)}{\Delta t}=-k.\)
Ez az állandó feszültség egyenáramot indít el a körvezetőben, annak erőssége
\(\displaystyle I=\frac{U}{2R\pi \varrho}A,\)
ahol \(\displaystyle \varrho=1{,}7\cdot10^{-8}\,\Omega\,\rm m\) a réz fajlagos ellenállása. A megadott \(\displaystyle t_0\) pillanatban a mágneses indukció erőssége:
\(\displaystyle B(t_0)=\frac {\Phi(t_0)}{R^2\pi}=\frac {\Phi_0+kt_0 }{R^2\pi},\)
ami a körvezető egyes (\(\displaystyle \Delta \ell\) hosszúságú) darabjaira \(\displaystyle BI\Delta\ell\) nagyságú Lorentz-erőt fejt ki.
Tekintsük a körvezető egyik felére (félkörére) ható Lorentz-erők eredőjét. Ha a félkört az átmérője mentén zárt hurokká egészítenénk ki, az egész hurokra ható erő nyilván nulla lenne. A félkörívre tahát összesen
\(\displaystyle F=B(t_0)I2R\)
nagyságú mágneses erő hat, amivel a félkör végpontjainál ható (a \(\displaystyle \sigma\) rugalmas feszültségből származó) \(\displaystyle 2\sigma A\) erő tart egyensúlyt. Innen a keresett rugalmas feszültség nagysága:
\(\displaystyle \sigma=\left\vert \frac{B(t_0)I2R}{2A}\right\vert=\frac{\left(\Phi_0+kt_0\right)k }{2\pi^2\varrho R^2}\approx 7{,}5\cdot10^4~{\rm Pa}=0{,}075 ~\frac{\rm N}{\rm mm^2}.\)
Amennyiben a mágneses tér erősségének nagysága növekszik (esetünkben ez a helyzet), akkor – mint az a jobbkéz-szabály többszöri alkalmazásával belátható – a vezetőben rugalmas nyomófeszültség alakul ki.
Megjegyzések. 1. Az \(\displaystyle A\) keresztmetszet kiesett a mechanikai feszültség végképletből. Ez várható volt, hiszen ha egymás közelében két egyforma körvezetőt helyezünk el a mágneses térben, mindegyikükben ugyanakkora \(\displaystyle \sigma\) rugalmas feszültség jön létre, jóllehet az együttes keresztmetszetük kétszer akkora, mint az egyes körvezetőké.
2. Az \(\displaystyle A\) keresztmetszetből kiszámítható a vezeték sugara, és abból a vezetékben folyó áram által létrehozott mágneses indukció nagysága. Ez még a vezeték közvetlen közelében is sokkal kisebb, mint a külső mágneses tér indukciója, tehát jogosan hanyagoltuk el a vezeték saját mágneses terét a számolásban.
Statistics:
25 students sent a solution. 5 points: Bartók Imre, Berke Martin, Csire Roland, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Kolontári Péter, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Sal Dávid, Tófalusi Ádám. 4 points: Békési Ábel, Bíró Dániel, Csuha Boglárka, Fajszi Bulcsú, Mamuzsics Gergő Bence, Olosz Adél, Szakály Marcell, Turcsányi Ádám. 3 points: 5 students. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2017