Problem P. 4990. (December 2017)

P. 4990. The cross section of the wider part of a fixed vertical tube is \(\displaystyle A_1\), whilst that of its narrower part is \(\displaystyle A_2\). In the tube, between two pistons, there is some liquid of density \(\displaystyle \varrho\). The pistons are connected by means of a rigid rod of length \(\displaystyle \ell\). The masses of the rod and the pistons are negligible. The ambient air pressure is \(\displaystyle p_0\).

What is the magnitude and the direction of the force exerted in the rod if

\(\displaystyle a)\) the narrower,

\(\displaystyle b)\) the wider

part of the tube is on the horizontal tabletop?

What strange thing happens if \(\displaystyle \ell\) is ``relatively large''?

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Legyen a folyadék nyomása a felső dugattyúnál \(\displaystyle p\), az alsónál pedig \(\displaystyle p+\varrho g\ell\). Jelöljük a rúdban ébredő erőt \(\displaystyle F\)-fel, és akkor tekintsük pozitívnak, ha húzóerő alakul ki.

Az \(\displaystyle a)\) esetben a dugattyúk mechanikai egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle p_0A_1=pA_1-F,\)

illetve

\(\displaystyle p_0A_2=(p+\varrho g\ell)A_2-F.\)

Ebből a két egyenletből következik, hogy

\(\displaystyle F=\frac{A_1 A_2}{A_1-A_2}\varrho g \ell>0 \qquad \text{és}\qquad p=p_0+\frac{A_2}{A_1-A_2}\varrho g \ell>p_0.\)

A folyadék nyomása tehát mindenhol nagyobb, mint a légköri nyomás, és a rúdban húzóerő ébred.

Hasonló módon számolhatunk a \(\displaystyle b)\) esetben is (\(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) szerepet cserélnek).

\(\displaystyle F=-\frac{A_1 A_2}{A_1-A_2}\varrho g \ell<0 \qquad \text{és}\qquad p=p_0-\frac{A_1}{A_1-A_2}\varrho g \ell<p_0.\)

A folyadék nyomása tehát ilyenkor a felső dugattyúnál kisebb, mint a légköri nyomás, és a rúdban nyomóerő ébred.

Érdekes helyzet áll elő, ha\(\displaystyle \frac{A_1}{A_1-A_2}\varrho g\ell >p_0\). Ekkor a folyadék – a \(\displaystyle b)\) esetben – elválik a felső dugattyútól (forrni kezd), majd a dugattyú és a rúd addig süllyed lefelé, amíg a felső dugattyú meg nem akad a szűkületnél.

Statistics:

25 students sent a solution.
6 points:	Elek Péter, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Kondákor Márk, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid.
5 points:	Bartók Imre, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Csire Roland, Makovsky Mihály, Póta Balázs, Sas 202 Mór, Schneider Anna, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám.
4 points:	1 student.
3 points:	1 student.
1 point:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, December 2017