Problem P. 4992. (January 2018)

P. 4992. A ball which was dropped from a height of \(\displaystyle h\) in a stationary elevator is bouncing for a time of \(\displaystyle t\).

\(\displaystyle a)\) What is the coefficient of restitution \(\displaystyle k\), which characterises the elasticity of the impact? (The constant \(\displaystyle k\) is the ratio of the linear momentum of the ball before the impact to that of after the impact.)

\(\displaystyle b)\) The elevator is moving upwards at a speed of \(\displaystyle v\). How long does the ball bounce when it is dropped from a height of \(\displaystyle h\)?

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle h\) magasról leejtett labda \(\displaystyle t_0=\sqrt{2h/g}\) idő alatt esik le, és \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh}\) sebességgel ütközik a lift padlójának. A visszapattanó labda kezdősebessége \(\displaystyle kv_0\), és ennek megfelelően \(\displaystyle t_1=kt_0\) ideig mozog felfelé, majd ugyanennyi ideig lefelé. Az első és a második földet érés között tehát \(\displaystyle 2kt_0\) idő telik el. Hasonló módon számolva a további pattanások között eltelő idő \(\displaystyle 2k^2t_0\), \(\displaystyle 2k^3t_0\) stb. A megállásig eltelő idő:

\(\displaystyle t=t_0\left(1+2k+2k^2+2k^3+\ldots\right)=2t_0\left(1+k+k^2+k^3+\ldots\right)-t_0= \frac{1+k}{1-k}t_0.\)

Innen az ütközési szám kifejezhető:

\(\displaystyle k=\frac{t-t_0}{t+t_0}=\frac{t-\sqrt{2h/g}}{t+\sqrt{2h/g}}.\)

\(\displaystyle b)\) A Galilei-féle relativitási elv értelmében az egymáshoz képest egyenletesen mozgó koordináta-rendszerek egyenértékűek, bennük a mechanikai jelenségek (ha a kezdőfeltételek megegyeznek) ugyanúgy mennek végbe. Az egyenletesen mozgó liftben elejtett labda tehát ugyancsak \(\displaystyle t\) ideig fog pattogni.

Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:	Balogh 999 Árpád Mátyás, Bartók Imre, Békési Ábel, Bíró Dániel, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Kondákor Márk, Kozák 023 Áron, Lipták Gergő, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Petneházy Adél, Pszota Máté, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Schottner Kristóf Károly, Stefán Boglárka Abigél, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Turcsányi Máté, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Vígh Márton.
4 points:	Berke Martin, Fajszi Bulcsú, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Gergely, Németh Csaba Tibor.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2018