Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 4993. (January 2018)

P. 4993. The Channel Tunnel, between Calais and Dover has a length of 55 km, and 38 km of it is below the English Channel. Think of a 40 km long straight train tunnel on the exactly spherical Earth of radius 6371 km, below sea level, such that above the two ends of the tunnel the height of water is 20 m.

\(\displaystyle a)\) What is the height of water above the middle of the tunnel?

\(\displaystyle b)\) If there was no air in the tunnel and friction was also negligible, how long would it take for a train, starting from rest, to go through the channel due to just the gravitational pull of the Earth?

\(\displaystyle c)\) At what speed would the train go through the middle of the tunnel?

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú nyílegyenes alagút közepe és a vége közötti magasságkülönbség az \(\displaystyle R\gg\ell\) sugarú Föld felszínének közelében (a Pitagorasz-tétel szerint)

\(\displaystyle \Delta h=R-\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}.\)

Ezt az értéket konkrét számadatok mellett közvetlenül kiszámíthatjuk (az eredmény 0,0314 km), de egy azonos átalakítás felhasználásával paraméteresen is megadhatjuk:

\(\displaystyle \Delta h= \frac {\left(R-\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}\right) \left(R+\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}\right)} {{R+\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}}}\approx \frac{\ell^2}{8R}=\frac{40^2}{8\cdot 6371}~\rm km=31~\rm m. \)

(A nevezőben szereplő gyökös kifejezést \(\displaystyle R\)-rel közelítettük.)

Az elképzelt alagút közepe felett tehát összesen 51 méter magasan áll a víz.

\(\displaystyle b)\) Az alagút közepétől \(\displaystyle x\) távolságban az alagút egyenese helyről helyre változó \(\displaystyle \alpha\) szöggel tér el a ,,helyi függőlegestől'', és jó közelítéssel teljesül, hogy \(\displaystyle \sin\alpha=x/R\). Ugyancsak jó közelítéssel állíthatjuk, hogy a nehézségi gyorsulás a Föld felszínének közelében állandónak, \(\displaystyle g= 9{,}81~\rm m/s^2\) nagyságúnak vehető. Ebben a közelítésben a (mozdony nélkül, szabadon guruló) vagon mozgásegyenlete:

\(\displaystyle a=-g\sin\alpha=-\frac{g}{R}x \equiv-\omega^2 x.\)

Ez egy olyan harmonikus rezgőmozgás egyenlete, amelynek periódusideje:

\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\approx 84~\text{perc}.\)

A kezdősebesség nélkül induló vagon egy fél periódusidő, vagyis 42  perc alatt teszi meg az utat az alagút egyik végétől a másikig.

\(\displaystyle c)\) Az alagút közepén a sebesség (az \(\displaystyle \ell/2\) amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás maximális sebessége:

\(\displaystyle v_\text{max}=\frac{\ell}{2}\omega=\frac{\ell}{2} \sqrt{\frac{g}{R}}=24{,}8~\frac{\rm m}{\rm s}=89{,}3~\frac{\rm km}{\rm h}.\)

Ugyanezt az eredményt a munkatételből is megkaphatjuk:

\(\displaystyle \frac12mv_\text{max}^2=mg\Delta h=\frac{mg\ell^2}{8R},\qquad \text{vagyis} \qquad v_\text{max}=\frac{\ell}{2} \sqrt{\frac{g}{R}}.\)

Megjegyzés. Ha az elképzelt Földről azt is feltesszük, hogy a tömegeloszlása homogén, akkor belátható, hogy az egyenes pályán való (súrlódás- és közegellenállás-mentes) mozgás tetszőlegesen hosszú alagútban harmonikus rezgőmozgás, amelynek periódusideje az alagút hosszától függetlenül minden esetben 84 perc.


Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:Bartók Imre, Békési Ábel, Boros Máté, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csire Roland, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács Gergely Balázs, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Pszota Máté, Schrott Márton, Tafferner Zoltán.
4 points:Balaskó Dominik, Beke Csongor, Berke Martin, Fajszi Bulcsú, Lipták Gergő, Póta Balázs, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Turcsányi Máté, Vígh Márton.
3 points:2 students.
2 points:15 students.
1 point:11 students.
0 point:3 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2018