Problem P. 4995. (January 2018)

P. 4995. Estimate the displacement of the centre of the mass of the Sun, due to the planets orbiting around it.

(4 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az \(\displaystyle M\) tömegű Nap körül csak egyetlenegy \(\displaystyle m\) tömegű bolygó keringene \(\displaystyle R\) pályasugárral (az egyszerűség kedvéért a bolygó pályáját körnek tekintjük), akkor a Nap a közös tömegközéppont körül

\(\displaystyle r=\frac{m}{M+m}R\approx \frac{1}{M}\cdot (mR)\)

nagyságú ,,kitéréseket'' végezne. Az \(\displaystyle mR\) szorzat a Naprendszer bolygói közül a Jupiter esetében a legnagyobb, ezért a becslésnél (első közelítésben) egyedül a Jupiter hatását vesszük figyelembe.

\(\displaystyle r=\frac{m_\text{Jupiter}}{M_\text{Nap}}R_\text{Jupiter}=\frac{1{,}9\cdot 10^{27}~\rm kg}{2{,}0\cdot 10^{30}~\rm kg}\, \left(7{,}6\cdot 10^8~{\rm km}\right)\approx \text{700 ezer km}.\)

(Ez körülbelül a Nap rádiuszával egyezik meg.) Ha a többi bolygót is számításba vesszük (gyakorlatilag elegendő csak a gázbolygókkal, vagyis a Szaturnusszal, az Uránusszal és a Neptunusszal foglalkozzunk), akkor a Nap kitérése a Jupiter okozta kitérésnek kb. kétszerese is lehet. (Ez akkor következhet be, ha az óriásbolygók együttállásba kerülnek, mindegyikük és a Nap is közelítőleg egy egyenesbe esik.)

Statistics:

13 students sent a solution.
4 points:	Ferenczi Lajos Szabolcs, Kolontári Péter, Markó Gábor, Pácsonyi Péter, Pszota Máté, Selmi Bálint, Stiga Viktória, Stirling András.
3 points:	Fekete András Albert, Sas 202 Mór.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, January 2018