Problem P. 4996. (January 2018)

P. 4996. In the process of \(\displaystyle p=\frac{\alpha}{V^2}\) (where \(\displaystyle \alpha\) is a constant) the volume of one mole helium was doubled, whilst its internal energy was decreased by 2493 J.

\(\displaystyle a)\) What was the initial temperature of the helium?

\(\displaystyle b)\) How much heat was released by the gas during the process?

(5 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a gáz kezdeti nyomása \(\displaystyle p_0\), térfogata \(\displaystyle V_0\). A megváltozott állapotjelzők \(\displaystyle p_1=\tfrac14p_0\) és \(\displaystyle V_1=2V_0\). Az általános gáztörvény szerint 1 mólnyi anyagmennyiség esetén a héliumgáz hőmérséklete

\(\displaystyle T=\frac{pV}{R},\)

a belső energiája pedig

\(\displaystyle E=\frac{3}{2}pV=\frac{3}{2}RT.\)

A megadott feltételek szerint

\(\displaystyle \Delta E=\frac{3}{2}p_1V_1-\frac{3}{2}p_0V_0=-\frac34p_0V_0=-\frac34RT_0=-2493~\rm J,\)

ahonnan a kezdeti hőmérséklet megkapható:

\(\displaystyle T_0=-\frac{4}{3}\frac{\Delta E}{R}=\frac{4\cdot 2493~\rm J}{3\cdot 8{,}31~\rm J/K}=400~\rm K.\)

A folyamat végén a gáz hőmérséklete \(\displaystyle T_2=200~\rm K\).

\(\displaystyle b)\) Számítsuk ki, hogy milyen kapcsolat van a gáz térfogatának és nyomásának kicsiny megváltozása között a feladatban szereplő állapotváltozásban. Ha \(\displaystyle pV^2\) állandó, akkor

\(\displaystyle (p+\Delta p)(V+\Delta V)^2=pV^2,\)

ahonnan a kicsiny megváltozások szorzatát elhanyagolva a

összefüggés adódik. Hasonló módon kapjuk, hogy a belső energia és a hőmérséklet kicsiny megváltozása

\(\displaystyle \Delta E=\frac32(p+\Delta p)(V+\Delta V)-\frac32pV\approx \frac32p\Delta V+\frac32V\Delta p,\)

illetve

A hőtan I. főtétele szerint a gáz állapotának kicsiny megváltozása során a gáz által felvett hő

\(\displaystyle \Delta Q=\Delta E+p\Delta V=\frac52p\Delta V+\frac32V\Delta p,\)

ami (1) és (2) felhasználásával így is írható:

\(\displaystyle \Delta Q=-\frac12 p\Delta V=\frac12 R\Delta T.\)

Azt kaptuk tehát, hogy a hélium molhője a szóban forgó folyamatban állandó, \(\displaystyle C=\tfrac12 R\) nagyságú. Ennek megfelelően a teljes folyamat során leadott hő:

\(\displaystyle -Q=-\frac12 R\left(T_2-T_1\right)=\frac{8{,}31~\rm J/K}{2}(400~{\rm K}-200~{\rm K})=831~\rm J.\)

Megjegyzés. A fentiekben leírtakhoz hasonló módon belátható, hogy a \(\displaystyle pV^n=\text{állandó}\) folyamatokban (ezek az ún. politropikus folyamatok) a mólhő állandó, értéke (nemesgázok esetén)

\(\displaystyle C=\frac{5-3n}{2(1-n)}R.\)

Speciális esetek: \(\displaystyle n=0\) (izobár állapotváltozás, \(\displaystyle C_p=\tfrac52R)\); \(\displaystyle n\rightarrow\infty\) (izochor állapotváltozás, \(\displaystyle C_V=\tfrac32R)\), \(\displaystyle n=1\) (izoterm állapotváltozás, ilyenkor a mólhő értelmét veszti); \(\displaystyle n=\tfrac53\) (adiabatikus állapotváltozás, \(\displaystyle C=0)\); \(\displaystyle n=2\) (ez a feladatban szereplő eset, \(\displaystyle C=\tfrac12R)\).

Statistics:

59 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Békési Ábel, Berke Martin, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Garamvölgyi István Attila, Guba Zoltán, Háder Márk István, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kiszli Zalán, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Lénárd Kristóf, Lipták Gergő, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Surján Botond, Tafferner Zoltán, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás, Vígh Márton.
4 points:	Balaskó Dominik, Bíró Dániel, Édes Lili, Molnár 957 Barnabás, Rusvai Miklós, Szakály Marcell, Viczián Anna.
3 points:	1 student.
2 points:	7 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2018