Problem P. 5003. (February 2018)

P. 5003. Two simple pendulums, both having a length of \(\displaystyle \ell\) can swing in parallel, vertical planes, one right behind the other. Their shadows are projected perpendicularly to a wall, and every once in a while the shadows cross each other. Both pendulums are displaced by the same (small) angle and they are released at a time difference of \(\displaystyle t_0\). (\(\displaystyle t_0\) is smaller than the period of the pendulums.)

\(\displaystyle a)\) When do their shadows meet first?

\(\displaystyle b)\) When does the \(\displaystyle n\)-th encounter occur?

(4 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ingák lengésideje \(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\ell/g}\), körfrekvenciájuk \(\displaystyle \omega=\sqrt{g/\ell }\), fáziskülönbségük \(\displaystyle \varphi=2\pi\frac{t_0}{T}=\omega t_0\). Az árnyékok akkor találkoznak, ha teljesül

\(\displaystyle A\cos\left(\omega t+\varphi\right)= A\cos\omega t.\)

(Az időmérés kezdőpontjaként a később indított inga elengedésének pillanatát választjuk.) A fenti egyenlet átalakítása után kapjuk, hogy

\(\displaystyle \left(\cos\varphi-1\right)\cos\omega t=\sin\omega t \sin\varphi,\)

\(\displaystyle \tg\omega t=\frac{\cos\varphi-1}{\sin\varphi}=-\tg\frac{\varphi}{2}.\)

Ennek legkisebb \(\displaystyle t>0\) megoldása:

\(\displaystyle \omega t=\pi-\frac{\varphi}{2},\)

Ez az összefüggés így is felírható:

\(\displaystyle t=\frac{T}{2}\left(1- \frac{t_0 }{T} \right). \)

\(\displaystyle b)\) Az árnyékok találkozása \(\displaystyle T/2\) időközönként követik egymást, így az \(\displaystyle n\)-edik találkozás időpillanata

\(\displaystyle t_n=\frac{T}{2}\left(n- \frac{t_0 }{T} \right). \)

Statistics:

47 students sent a solution.
4 points:	Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Kondákor Márk, Kovács Gergely Balázs, Kozák András, Markó Gábor, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Sal Dávid, Schneider Anna, Schrott Márton, Turcsányi Ádám.
3 points:	Al-Sayyed Zakariás, Balogh 999 Árpád Mátyás, Beke Csongor, Bukor Benedek, Fajszi Bulcsú, Garamvölgyi István Attila, Jánosdeák Márk, Kolontári Péter, Lipták Gergő, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Morvai Orsolya, Pálfi Fanni, Surján Botond, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Turcsányi Máté, Vanya Dóra, Vígh Márton.
2 points:	4 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, February 2018