 |
A P. 5004. feladat (2018. február) |
P. 5004. Egy 8 méter hosszú, hajlékony fonál két végpontját azonos magasságban, egymástól 4 méter távolságban rögzítjük. A fonálon, arra felfűzve súrlódás nélkül mozoghat egy 0,5 kg tömegű test. A fonalat feszesen tartva a testet kezdősebesség nélkül úgy indítjuk el, hogy az indítási pont és a felfüggesztési pontok egy egyenesbe esnek.
Mekkora erő feszíti a fonalat, amikor a test a legnagyobb sebességgel halad?
Közli: Simon Péter, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a fonál hosszát \(\displaystyle 2a\)-val, a felfüggesztési pontok távolságát \(\displaystyle 2c\)-vel, és legyen \(\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}.\) Esetünkben \(\displaystyle a=4\) m, \(\displaystyle c=2~\)m és \(\displaystyle b=3{,}46~\)m.
A test pályája egy olyan ellipszis, amelynek vízszintes nagytengelye \(\displaystyle 2a\), függőleges kistengelye \(\displaystyle 2b\) és a \(\displaystyle 2c\) távolságban lévő fókuszpontjai a fonál felfüggesztési pontjai.
A test sebessége a pálya legmélyebb pontjában (ez a maximális sebessége) az energiatétel szerint
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgb, \qquad v=\sqrt{2gb}.\)
A Newton-féle mozgásegyenlet alapján
\(\displaystyle 2F\frac{b}{a}-mg=\frac{mv^2}{R},\)
ahol \(\displaystyle F\) a fonalat feszítő erő, \(\displaystyle R\) pedig az ellipszis görbületi sugara a kistengely végpontjában. Belátható (például két egymásra merőleges irányú, azonos körfrekvenciájú, \(\displaystyle 90^\circ\)-os fáziseltolódású harmonikus rezgőmozgás sebesség és gyorsulás képleteiből), hogy \(\displaystyle R=a^2/b\).
A fenti összefüggésekből kifejezhető a keresett erő:
\(\displaystyle F= mg \frac{a^2+2b^2}{2ab}=1{,}44\,mg=7{,}1~\rm N.\)
Statisztika:
52 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Berke Martin, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Csire Roland, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Vaszary Tamás, Viczián Anna. 4 pontot kapott: Beke Csongor, Békési Ábel, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Klučka Vivien, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Póta Balázs. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző.
A KöMaL 2018. februári fizika feladatai