Problem P. 5004. (February 2018)

P. 5004. The two ends of an 8-meter-long flexible thread are fixed at the same height at a distance of 4 m from each other. A 0.5 kg object is strung on the thread and can move frictionlessly along it. The thread is held tight and the object is released without initial speed such that the starting point and the ends of the thread are collinear.

What is the tension in the thread when the object is moving at the greatest speed?

(5 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a fonál hosszát \(\displaystyle 2a\)-val, a felfüggesztési pontok távolságát \(\displaystyle 2c\)-vel, és legyen \(\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}.\) Esetünkben \(\displaystyle a=4\) m, \(\displaystyle c=2~\)m és \(\displaystyle b=3{,}46~\)m.

A test pályája egy olyan ellipszis, amelynek vízszintes nagytengelye \(\displaystyle 2a\), függőleges kistengelye \(\displaystyle 2b\) és a \(\displaystyle 2c\) távolságban lévő fókuszpontjai a fonál felfüggesztési pontjai.

A test sebessége a pálya legmélyebb pontjában (ez a maximális sebessége) az energiatétel szerint

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=mgb, \qquad v=\sqrt{2gb}.\)

A Newton-féle mozgásegyenlet alapján

\(\displaystyle 2F\frac{b}{a}-mg=\frac{mv^2}{R},\)

ahol \(\displaystyle F\) a fonalat feszítő erő, \(\displaystyle R\) pedig az ellipszis görbületi sugara a kistengely végpontjában. Belátható (például két egymásra merőleges irányú, azonos körfrekvenciájú, \(\displaystyle 90^\circ\)-os fáziseltolódású harmonikus rezgőmozgás sebesség és gyorsulás képleteiből), hogy \(\displaystyle R=a^2/b\).

A fenti összefüggésekből kifejezhető a keresett erő:

\(\displaystyle F= mg \frac{a^2+2b^2}{2ab}=1{,}44\,mg=7{,}1~\rm N.\)

Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Berke Martin, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Csire Roland, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Vaszary Tamás, Viczián Anna.
4 points:	Beke Csongor, Békési Ábel, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Klučka Vivien, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Póta Balázs.
3 points:	8 students.
2 points:	4 students.
1 point:	10 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2018