Problem P. 5006. (February 2018)
P. 5006. A 200 g beach ball is strongly thrown downwards, onto the ground. When the ball is in its most compressed state, it touches the ground along a circle of diameter 10 cm, and the pressure in the ball is 110 kPa.
\(\displaystyle a)\) What is the greatest acceleration of the centre of mass of the ball, if the ground is dry and a little bit lumpy?
\(\displaystyle b)\) Would the value of the acceleration be different if the ground was wet and flat, and therefore there was no air left below that part of the ball which was in contact with the ground?
(The ambient air pressure is 100 kPa.)
(5 pont)
Deadline expired on March 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A labda belapult, kör alakú része egy bizonyos ideig folyamatosan a talajjal érintkezik, gyorsulása tehát ezen időtartam alatt nulla. Emiatt az \(\displaystyle A\) területű körlapra ható erők eredője (ami a belső légnyomásból, a külső légnyomásból és a talaj nyomóerejéből származik) ugyancsak nulla:
\(\displaystyle pA-p_0A-N=0,\)
vagyis a a talaj által a labdára kifejtett erő
\(\displaystyle N=(p -p_0)A=10~{\rm kPa}\cdot (0{,}05~{\rm m})^2\cdot\pi= 78~{\rm N}.\)
(A körlapra ható erő számolásánál nem vettük figyelembe a labda többi része által kifejtett erőket. Ezt azért tehettük meg, mert ezek a rugalmas erők vízszintesek, hiszen a labda anyagának hajlékonysága miatt a körlap alakú rész és a labda többi része csakis ,,törésmentesen'' csatlakozhatnak egymáshoz.)
\(\displaystyle a)\) A labda és a száraz, göröngyös talaj között még a benyomódott állapotban is marad levegő, ennek nyomása nyilván \(\displaystyle p_0\). Az egész labdát tehát a teljes felületén (minden oldalról) \(\displaystyle p_0\) nyomású levegő éri (az ebből származó erők eredője nulla), és ezen kívül nyomja még a talaj a labdát \(\displaystyle N\) erővel felfelé. A tömegközéppont gyorsulása ezek szerint
\(\displaystyle \frac{N-mg}{m}=\frac{78~{\rm N}-2~{\rm N}}{0{,}2~{\rm kg}} = 380\,\frac{\rm m}{\rm s^2},\)
vagyis a \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulásnak csaknem 40-szerese.
\(\displaystyle b)\) Ha a benyomódott labda és a talaj közül kiszorul a levegő, és a helyébe egy vékony vízréteg kerül, akkor látszólag más eredményt kapunk, hiszen a körlap alatti térrészben ilyenkor nincs légnyomás. A valóságban azonban a labda tömegközéppontjának gyorsulása gyakorlatilag ugyanakkora lesz ebben az esetben is, hiszen most a vízréteg nyomása veszi át a légnyomás szerepét. A víz nyomása lényegében ugyanakkora, mint a külső légnyomás, hiszen a körlap pereménél érintkezik a víz a légkör levegőjével. (Ha a felületi feszültséget is számításba vesszük, a víz nyomása a görbületi nyomás miatt kicsit nagyobb lesz, mint a külső légnyomás, ez a különbség azonban nem számottevő.)
Statistics:
26 students sent a solution. 5 points: Bartók Imre, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Póta Balázs. 4 points: Kozák András. 3 points: 5 students. 2 points: 8 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2018