Problem P. 5009. (February 2018)
P. 5009. A very thin thread pendulum of length \(\displaystyle \ell=0.8\) m is placed in vacuum. The pendulum is also in a region of uniform, horizontal magnetic field of induction \(\displaystyle B=2\) T; it is displaced horizontally in the plane which is perpendicular to the induction \(\displaystyle \boldsymbol B\), and then released without initial speed, as shown in the figure.
\(\displaystyle a)\) What amount of charge should the pendulum bob of mass \(\displaystyle m=0.1\) g be given in order that the tension in the thread when the bob is at the lowermost point of its path is 99% of the value of the tension without magnetic field?
\(\displaystyle b)\) What is the ratio of the values of the tension in the case of two consecutive passes?
(4 pont)
Deadline expired on March 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A mágneses mező nem végez munkát, így az inga gömbje
\(\displaystyle v=\sqrt{2g\ell}=3{,}96~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 4~\frac{\rm m}{\rm s}\)
sebességgel halad át a pályájának legalsó pontján. A test gyorsulása ekkor
\(\displaystyle a=\frac{v^2}{\ell}=2g\)
függőlegesen felfelé, és a rá ható Lorentz-erő \(\displaystyle QvB\) (\(\displaystyle Q>0\) esetén) függőlegesen lefelé. Ha a fonalat feszítő erő \(\displaystyle K\), a mozgásegyenlet:
\(\displaystyle mg+QvB-K=-2mg,\)
ahonnan
\(\displaystyle K=3mg+QvB.\)
Mágneses tér nélkül a fonálerő \(\displaystyle 3mg\) lenne, így a megadott feltétel akkor teljesül, ha
\(\displaystyle Q=-0{,}01 \frac{3mg}{B\sqrt{2g\ell}}\approx -3{,}7\cdot 10^{-6}~\rm C.\)
\(\displaystyle b)\) Amikor a töltött test ellenkező irányban halad át a legmélyebb ponton, a Lorentz-erő növeli a fonálerőt, annak értéke
\(\displaystyle K'=3mg-QvB=1{,}01\cdot 3mg\)
lesz. A kétféle irányú sebességhez tartozó erők aránya
\(\displaystyle \frac{K'}{K}=\frac{1{,}01}{0{,}99}=1{,}02.\)
Statistics:
52 students sent a solution. 4 points: Balaskó Dominik, Bálint Ádám, Bartók Imre, Békési Ábel, Berke Martin, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csire Roland, Édes Lili, Guba Zoltán, Háder Márk István, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács Gergely Balázs, Kozák 023 Áron, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár Mátyás, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Surján Botond, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán. 3 points: Bíró Dániel, Bonifert Balázs, Boros Máté, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Gál Péter Levente, Jánosik Áron, Kántor Bence, Lipták Gergő, Pálfi Fanni, Richlik Róbert, Schrott Márton, Takács Árpád, Turcsányi Máté. 2 points: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2018