Problem P. 5011. (February 2018)
P. 5011. The two thinnest strings of a steel-string guitar (E and B) are made of great tensile strength steel. The thinner E string is overstrained until its pitch reaches sound G (a whole tone below the 440 Hz normal A sound) and it snaps.
\(\displaystyle a)\) At which sound would string B snap if it was also overstrained and it was made of the same tensile strength steel as string E?
\(\displaystyle b)\) What was the tensile strength of the material of string E?
\(\displaystyle c)\) The strings which have been used for a long time usually break at the bridge or at the tuning peg. Why?
\(\displaystyle d)\) From what other materials could the strings be made? Look for appropriate materials on the Internet or in tables.
The length of the oscillating part of the string is 64 cm, the density of the material of the steel string is \(\displaystyle 7.8 \cdot 10^3~\rm kg/m^3\).
(6 pont)
Deadline expired on March 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle a)\) kérdésre a számadatok és képletek felidézése nélkül is válaszolhatunk. Képzeljük el, hogy a vastagabb húrt úgy készítettük, hogy két vékonyat hosszában egymás mellé ragasztottunk. Ha a két húrt egyformán feszítjük, egyformán rezgetjük, a ragasztást nem terheli semmi, és a vastag húr ugyanannál a hangnál szakad el, mint a két vékony külön-külön. (Ez meglepő, a gitárosok arra tippelnének, hogy a H húr már alacsonyabb hangnál elszakad. A tapasztalat szerint valamennyi használat után minden húr elszakad, de a H húr élettartama sokkal hosszabb; ezzel kapcsolatban lásd a c) kérdésre adott választ.)
A Függvénytáblázat szerint a rezgő húr frekvenciája
\(\displaystyle f=\frac{1}{2\ell}\sqrt{\frac{F}{\varrho A}}= \frac{1}{2\ell}\sqrt{\frac{\sigma}{\varrho}} ,\)
ahol \(\displaystyle \ell\) a húr hossza, \(\displaystyle \varrho\) a húr anyagának sűrűsége, \(\displaystyle F\) a húzóerő, \(\displaystyle A\) a húr keresztmetszete és \(\displaystyle \sigma = F/A\) a rugalmas feszültség. Ebből a rugalmas feszültség:
\(\displaystyle \sigma=4\varrho f^2\ell^2.\)
A szakítószilárdság az a feszültségérték, amelyiknél a húr elszakad. A fenti képlet független a húr keresztmetszetétől, vagyis ebből is az látszik, hogy a vastagabb H húr (ugyanakkora szakítószilárdság esetén) szintén a G hangmagasságnál szakad el.
\(\displaystyle b)\) A G hang frekvenciája
\(\displaystyle 2^{-{ 1\!/6}}\cdot 440~{\rm Hz} = 392~{\rm Hz},\)
az acél sűrűsége (esetünkben) \(\displaystyle \varrho = 7800~{\rm kg/m}^3,\) a keresett szakítószilárdság
\(\displaystyle \sigma_{\rm sz} = 4 \cdot 7800~{\rm kg/m}^3 \cdot \left(392~{\rm s}^{-1}\right)^2 \cdot \left(0{,}64~{\rm m}\right)^2 \approx 2000~{\rm MPa}. \)
\(\displaystyle c)\) Az említett helyeken hangoláskor sokszor szenved alakváltozást a húr, anyaga elfárad, szakítószilárdsága csökken. A jelenség hasonló ahhoz, mint amikor sokszor hajlítgatva eltörünk egy fémhuzalt.
\(\displaystyle d)\) A karbonszálak megjelenéséig az acél volt a legnagyobb szakítószilárdságú anyag. A Wikipédia szerint különféle acélok szakítószilárdsága 1000-2700 MPa. Számításunk szerint tehát hangszerhúrhoz különleges, nagy szakítószilárdságú acélra van szükség. Gitárhúr készült még juhbélből és műanyagból (nejlonból). Ezek sűrűsége kb. 8-szor kisebb, ezért 250 MPa szakítószilárdság is elég a G hanghoz, ehhez képest a nejlon szakítószilárdsága 750 MPa. Magának a karbonszálnak a szakítószilárdsága 6370 MPa, amit valamilyen kompozit műanyagba építenek be. Újabban jó minőségű klasszikusgitár-húrok készülnek karbonszálas műanyagból (carbon strings).
https://en.wikipedia.org/wiki/Ultimatetensilestrength
Statistics:
16 students sent a solution. 6 points: Bartók Imre, Bukor Benedek, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Turcsányi Ádám. 5 points: Morvai Orsolya. 4 points: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2018