Problem P. 5014. (March 2018)

P. 5014. At what speed should a projectile be projected on the Moon, in order that the height to which it rises is \(\displaystyle p\) percent of the radius of the Moon? Let the values of \(\displaystyle p\) be the following: \(\displaystyle p=1\), \(\displaystyle 10\) and \(\displaystyle 100\). (Give your answers to 2 significant figures.)

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Hold felszínén a nehézségi gyorsulás

\(\displaystyle g_0=\frac{\gamma M_\text{Hold}}{R^2}\approx 1{,}62~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

ahol \(\displaystyle R\approx 1738~\rm km\) a Hold (átlagos) sugara.

Ha a lövedék emelkedési magassága \(\displaystyle h=0{,}01R\), a nehézségi gyorsulás (2 értékes jegyre történő számolásnál) állandónak tekinthető, így a kezdősebesség \(\displaystyle v_0=\sqrt{2g_0h}=0{,}24~\)km/s.

Ha az emelkedési magasság \(\displaystyle \tfrac{p}{100}R\), és \(\displaystyle p=10\), illetve \(\displaystyle p=100\), figyelembe kell vegyük, hogy a nehézségi gyorsulás a Hold középpontjától mért \(\displaystyle r\) távolságban

\(\displaystyle g(r)= g_0\frac{R^2}{r^2},\)

és ennek megfelelően egy \(\displaystyle m\) tömegű lövedék gravitációs helyzeti energiája

\(\displaystyle E(r)=-\frac{\gamma M_\text{Hold}}{r}=-mg_0\frac{R^2}{r}.\)

Az energiamegmaradás tétele szerint

\(\displaystyle \frac1{2}mv_0^2=E\left(R+\tfrac{p}{100}R\right)-E(R),\)

azaz

\(\displaystyle v_0=\sqrt{2g_0R} \sqrt{\tfrac{p}{p+100}}= \sqrt{\tfrac{p}{p+100}}\cdot 2{,}37 ~\frac{\rm km}{\rm s}.\)

Ez az érték \(\displaystyle p=1\) esetén \(\displaystyle 0{,}24~\)km/s, tehát megegyezik a korábbi (homogén gravitációs teret feltételező) számolás eredményével, viszont \(\displaystyle p=10\)-nél \(\displaystyle 0{,}72~\)km/s, \(\displaystyle p=100\)-nál pedig \(\displaystyle 1{,}7~\)km/s. Ez utóbbi két sebesség már eltér a naiv számolás \(\displaystyle 0{,}75~\)km/s és \(\displaystyle 2{,}4~\)km/s értékeitől.

Statistics:

81 students sent a solution.
4 points:	Balaskó Dominik, Beke Csongor, Békési Ábel, Berke Martin, Bíró Dániel, Bonifert Balázs, Boros Máté, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csire Roland, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fialovszky Márk, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Girus Kinga, Hajnal Dániel Konrád, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kiszli Zalán, Kondákor Márk, Kozák András, Magyar Máté, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schottner Kristóf Károly, Schrott Márton, Surján Botond, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Vígh Márton.
3 points:	10 students.
2 points:	2 students.
1 point:	16 students.
0 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2018