Problem P. 5021. (March 2018)
P. 5021. At most how much energy can be gained by an – initially stationary – electron if it collides with another particle of energy 1 MeV, if the particle is a
\(\displaystyle a)\) proton;
\(\displaystyle b)\) electron;
\(\displaystyle c)\) positron?
(4 pont)
Deadline expired on April 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kezdetben álló részecske akkor kapja a legtöbb energiát, ha az ütközés centrális. Legyen az ütköző részecske tömege \(\displaystyle M\), sebessége \(\displaystyle v_0\), az elektron tömege \(\displaystyle m\), ütközés utáni sebessége pedig \(\displaystyle v\).
\(\displaystyle a)\) Proton ütközik elektronnal. Az 1 MeV mozgási energia sokkal kisebb, mint a proton kb. 1 GeV nyugalmi energiája, így számolhatunk a nemrelativisztikus mozgási energia képletével. Az elektron sebessége az ütközés után legfeljebb
\(\displaystyle v=\frac{2M}{m+M}v_0\approx 2v_0\)
lehet, a mozgási energiája pedig
\(\displaystyle E_a=\frac{1}{2}mv^2=4 E_0\frac{m}{M}= 4~{\rm MeV}\frac{1}{1830}=2{,}2~{\rm keV}.\)
\(\displaystyle b)\) Elektron ütközik elektronnal (\(\displaystyle M=m)\). A fentiekhez hasonló nemrelativisztikus számolás a meglökött elektron sebességére \(\displaystyle v_0\)-t, mozgási energiájára pedig 1 MeV-et ad. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a relativisztikus képleteket használjuk. Az ütközés után akkor is észlelhetünk \(\displaystyle E_b=1\) MeV-es elektronokat, ha a bejövő, már eredetileg is mozgó elektronokat detektáljuk, hiszen az elektronok megkülönböztethetetlen részecskék; a kvantumelmélet szerint nincs értelme azt kérdezni, hogy ,,melyik'' elektron érkezett a mérőberendezésbe.
\(\displaystyle c)\) A pozitron az elektronnal azonos tömegű, ezért – ha rugalmasan ütközik az elektronnal – az elektront közel \(\displaystyle E_c=1\) MeV energiára gyorsíthatja. A rugalmas ütközés mellett az annihiláció (pármegsemmisülés) folyamata is végbe mehet:
\(\displaystyle \text{pozitron}+\text{elektron}\rightarrow \text{foton}+\text{foton}.\)
Ekkor, mivel a folyamat végén egyáltalán nincs jelen elektron, a kérdésre nem adható válasz.
Statistics:
9 students sent a solution. 3 points: Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Kolontári Péter, Selmi Bálint. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2018