Problem P. 5022. (March 2018)

P. 5022. The lengths of two threads are \(\displaystyle L\) and \(\displaystyle 2L\). At the ends of the threads there are point-like objects of mass \(\displaystyle m\). The objects have the same \(\displaystyle Q\) charge. What is the angle between the two threads which are fixed at the same point in equilibrium?

Data: \(\displaystyle L=20\) cm, \(\displaystyle m=1\) g, \(\displaystyle Q=2.8\cdot10^{-7}\) C.

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábrán látható jelöléseket!

A két pontszerű test felezőpontja a felfüggesztési pont alatt, attól

\(\displaystyle h=\sqrt{\frac{5}{2}L^2-\frac{1}{4}r^2}\)

távolságra található. (Ezt a fonalak által kifeszített háromszög két részére felírható koszinusztételből kaphatjuk meg.)

Határozzuk meg először a két test \(\displaystyle r\) távolságát! Mindkét töltött testre, így a jobb oldalira is \(\displaystyle F=k\frac{Q^2}{r^2}\) nagyságú elektrosztatikus taszítóerő és függőleges irányú, \(\displaystyle mg\) nagyságú nehézségi erő hat. Az ábrán sötéten jelölt háromszögek hasonlósága miatt fennáll, hogy

\(\displaystyle \frac{F}{mg}=\frac{r}{2h},\)

vagyis

\(\displaystyle k\frac{Q^2}{mgL^2}\sqrt{10-\left(\frac{r}{L}\right)^2}=\left(\frac{r}{L}\right)^3.\)

A négyzetgyök előtt álló dimenziótlan szám (a feladat szövegében szereplő numerikus értékek mellett) \(\displaystyle 1{,}796\approx 1{,}8\), így a megoldandó egyenlet az \(\displaystyle x\equiv r/L\) dimenziótlan mennyiségre:

\(\displaystyle 1{,}8\sqrt{10-x^2}=x^3.\)

Ezt a ,,nem szokványos'' egyenletet négyzetre emeléssel és új változó bevezetésével harmadfokúvá alakíthatjuk, de közvetlenül is megoldhatjuk numerikusan, pl. a http://www.wolframalpha.com felhasználásával. A megoldás: \(\displaystyle x=1{,}69\), és így a fonalak által kifeszített háromszögre alkalmazott koszinusztételből a fonalak keresett szöge mintegy \(\displaystyle 58^\circ\).

Statistics:

22 students sent a solution.
6 points:	Bartók Imre, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Jánosik Áron, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Sal Dávid, Surján Botond.
5 points:	Elek Péter, Geretovszky Anna, Kondákor Márk, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Máth Benedek.
4 points:	1 student.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, March 2018