Problem P. 5024. (April 2018)

P. 5024. An object of mass \(\displaystyle m\) is suspended by a rubber thread of unstretched length \(\displaystyle l\), and of force (spring) constant \(\displaystyle k\). Then the object, which is in equilibrium, is pulled slowly, such that it moves along a horizontal line through its initial position. What is the magnitude of the pulling force, which belongs to the position when the rubber thread makes an angle of \(\displaystyle \varphi\) with the vertical?

Data: \(\displaystyle \ell=0.5\) m, \(\displaystyle \varphi=30^\circ\), \(\displaystyle m=0.4\) kg, \(\displaystyle k=10\) N/m.

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a testet nem húzzuk, a nehézségi erő és a gumiszál rugalmas ereje tart egyensúlyt. A gumi megnyúlása ilyenkor \(\displaystyle \Delta\ell=mg/D\).

Ha a gumifonalat \(\displaystyle \varphi\) szöggel kitérítjük vízszintesen, akkor a hossza

\(\displaystyle \ell+\Delta\ell'=\left(\ell+\frac{mg}{D}\right)\frac{1}{\cos\varphi},\)

a megnyúlása

\(\displaystyle \Delta\ell'=\frac{mg}{D}\frac{1}{\cos\varphi}+\ell\left(\frac{1}{\cos\varphi}-1\right),\)

a benne ébredő rugalmas erő pedig

\(\displaystyle F=D\Delta\ell'=\frac{mg}{\cos\varphi}+D\ell\left(\frac{1}{\cos\varphi}-1\right) \)

lesz.

A rugalmas erő és a nehézségi erő eredőjével tart egyensúlyt a külső erő. Ennek vízszintes komponense

\(\displaystyle F_1=F\sin\varphi=\left(mg+D\ell(1-\cos\varphi)\right)\tg\varphi=2{,}65~\rm N,\)

a függőleges komponens pedig

\(\displaystyle F_2=F\cos\varphi-mg=D\ell(1-\cos\varphi)=0{,}67~\rm N.\)

A kitérítő erő nagysága tehát

\(\displaystyle F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=2{,}73~\rm N,\)

iránya pedig \(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{F_2}{F_1}=14{,}2^\circ\)-ot zár be a vízszintessel, és ferdén lefelé mutat.

Statistics:

61 students sent a solution.
4 points:	Bartók Imre, Békési Ábel, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Csécsi Marcell, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Fialovszky Márk, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács 314 Balázs, Kozák András, Lipták Gergő, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Schneider Anna, Schrott Márton, Turcsányi Máté, Urszuly Csenge, Viczián Anna, Vígh Márton.
3 points:	Bonifert Balázs, Sas 202 Mór.
2 points:	13 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2018