 |
A P. 5028. feladat (2018. április) |
P. 5028. Egy 1 méter hosszúságú, zárt hengeres tartályban levegő van. A tartályt a vízszintes hossztengelye irányában állandó gyorsulással mozgatjuk, miközben a bezárt levegő hőmérsékletét mindvégig állandó, \(\displaystyle T=273\) K értéken tartjuk. Mekkora \(\displaystyle a_0\) gyorsulás esetében lenne a tartály elején a levegő nyomása
\(\displaystyle a)\) 0,1%-kal kisebb,
\(\displaystyle b)\) feleakkora, mint a tartály hátulján?
Útmutatás: A földi légkör sűrűsége – ha a hőmérséklet mindenhol \(\displaystyle T=273\) K lenne – a barometrikus magasságformula szerint változna: \(\displaystyle \varrho(h)= \varrho_0{\rm e}^{-\frac{Mgh}{RT}}\), ahol \(\displaystyle M\) a levegő átlagos moláris tömege, és kb. 5500 méter magasságban csökkenne a sűrűség a tengerszinten mérhető érték felére.
Példatári feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a tartály keresztmetszete \(\displaystyle A\), a hossza \(\displaystyle h\), a benne lévő levegő nyomása pedig a tartály hátuljánál \(\displaystyle p_0\), akkor a Newton-féle mozgásegyenlet szerint
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle ma_0=0{,}001 p_0A.\) |
Másrészt tudjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle m=Ah\bar{\varrho},\) |
ahol \(\displaystyle \bar{\varrho}\) a levegő átlagos sűrűsége a tartályban. Mivel a gáz nyomása csak kicsit (1 ezreléknyit) változik, az átlagsűrűség jó közelítéssel megegyezik a tartály hátuljánál levő sűrűséggel, ami a gáztörvényből is kiszámolható:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \bar{\varrho}\approx \varrho_0=\frac{M}{RT}p_0.\) |
A fenti három egyenletet összevetve megkapjuk a keresett gyorsulást:
\(\displaystyle a_0=0001\frac{RT}{Mh} = 78~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 8g.\)
(A végeredmény sem a tartály keresztmetszetétől, sem a \(\displaystyle p_0\) nyomás nagyságától nem függ.)
\(\displaystyle b)\) Ha a nyomás és a sűrűség számottevően változik a tartály belsejében, akkor az átlagos sűrűséget nem közelíthetjük a tartály szélénél érvényes sűrűséggel. A nyomás (és a sűrűség) a tartállyal együttmozgó (gyorsuló) koordináta-rendszerben úgy változik, mintha vízszintes irányban egy \(\displaystyle a_0\) ,,nehézségi gyorsulású'' gravitációs tér hatna. A tartályban a sűrűség is és a nyomás is helyről helyre változik, de (állandó hőmérséklet esetén) \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle \varrho\) egymással arányos mennyiségek. A barometrikus magasságformula szerint
\(\displaystyle p_0{\rm e}^{-\frac{Ma_0h}{RT}}=\frac{1}{2}p_0,\)
vagyis
\(\displaystyle a_0=\ln2\,\frac{RT}{Mh}\approx 54\,000~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
Ez az érték több, mint \(\displaystyle 5000\,g\) (!), tehát valós kísérletben aligha ellenőrizhető.
Statisztika:
30 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bukor Benedek, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid, Tordai Tegze, Vaszary Tamás. 4 pontot kapott: Békési Ábel, Csire Roland, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Pácsonyi Péter, Takács Árpád. 3 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2018. áprilisi fizika feladatai