Problem P. 5028. (April 2018)
P. 5028. Some air is confined in a 1 m long cylinder-shaped container. The cylinder is moved at a constant acceleration in the direction of its symmetry axis, while the temperature of the air in it is kept constant \(\displaystyle T=273\) K. At what value of the acceleration \(\displaystyle a_0\), would the pressure at the front of the cylinder be
\(\displaystyle a)\) 0.1% less than the pressure at the back of the cylinder?
\(\displaystyle b)\) half of the pressure at the back of the cylinder?
Hint: The density of atmospheric air as a function of the height \(\displaystyle h\) – if the temperature is constant 273 K – can be calculated with the barometric formula: \(\displaystyle \varrho(h)= \varrho_0{\rm e}^{-\frac{Mgh}{RT}}\), where \(\displaystyle M\) is the average molar mass of the air, and the density drops to half of the sea level value at about 5500 m above sea level.
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a tartály keresztmetszete \(\displaystyle A\), a hossza \(\displaystyle h\), a benne lévő levegő nyomása pedig a tartály hátuljánál \(\displaystyle p_0\), akkor a Newton-féle mozgásegyenlet szerint
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle ma_0=0{,}001 p_0A.\) |
Másrészt tudjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle m=Ah\bar{\varrho},\) |
ahol \(\displaystyle \bar{\varrho}\) a levegő átlagos sűrűsége a tartályban. Mivel a gáz nyomása csak kicsit (1 ezreléknyit) változik, az átlagsűrűség jó közelítéssel megegyezik a tartály hátuljánál levő sűrűséggel, ami a gáztörvényből is kiszámolható:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \bar{\varrho}\approx \varrho_0=\frac{M}{RT}p_0.\) |
A fenti három egyenletet összevetve megkapjuk a keresett gyorsulást:
\(\displaystyle a_0=0001\frac{RT}{Mh} = 78~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 8g.\)
(A végeredmény sem a tartály keresztmetszetétől, sem a \(\displaystyle p_0\) nyomás nagyságától nem függ.)
\(\displaystyle b)\) Ha a nyomás és a sűrűség számottevően változik a tartály belsejében, akkor az átlagos sűrűséget nem közelíthetjük a tartály szélénél érvényes sűrűséggel. A nyomás (és a sűrűség) a tartállyal együttmozgó (gyorsuló) koordináta-rendszerben úgy változik, mintha vízszintes irányban egy \(\displaystyle a_0\) ,,nehézségi gyorsulású'' gravitációs tér hatna. A tartályban a sűrűség is és a nyomás is helyről helyre változik, de (állandó hőmérséklet esetén) \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle \varrho\) egymással arányos mennyiségek. A barometrikus magasságformula szerint
\(\displaystyle p_0{\rm e}^{-\frac{Ma_0h}{RT}}=\frac{1}{2}p_0,\)
vagyis
\(\displaystyle a_0=\ln2\,\frac{RT}{Mh}\approx 54\,000~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
Ez az érték több, mint \(\displaystyle 5000\,g\) (!), tehát valós kísérletben aligha ellenőrizhető.
Statistics:
30 students sent a solution. 5 points: Bukor Benedek, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid, Tordai Tegze, Vaszary Tamás. 4 points: Békési Ábel, Csire Roland, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Pácsonyi Péter, Takács Árpád. 3 points: 7 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2018