A P. 5029. feladat (2018. április)

P. 5029. Egy alumíniumkockára ráhelyezünk egy vele azonos tömegű vaskockát.

\(\displaystyle a)\) Mekkora az így kapott fémtömb átlagsűrűsége?

\(\displaystyle b)\) Hány kg/m\(\displaystyle {}^3\)-rel változik meg a fémtömb átlagsűrűsége, ha a hőmérsékletét \(\displaystyle 15~{}^\circ\)C-kal megemeljük?

Közli: Széchenyi Gábor, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük az alumíniumkocka sűrűségét \(\displaystyle \varrho_1\)-gyel, a vas sűrűségét \(\displaystyle \varrho_2\)-vel, az egyes darabok tömegét pedig \(\displaystyle m\)-mel. A kockák térfogata \(\displaystyle m/\varrho_1\), illetve \(\displaystyle m/\varrho_2\), az egész fémtömb átlagsűrűsége tehát

\(\displaystyle \overline{\varrho}=\frac{2m}{\frac{m}{\varrho_1}+\frac{m}{\varrho_2}}=\frac{2}{\frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2}},\)

ami a \(\displaystyle \varrho_1\) és \(\displaystyle \varrho_2\) sűrűségek harmonikus közepe. A vas és az alamínium ismert sűrűségével számolva

\(\displaystyle \overline{\varrho}\approx 4020~\frac{\rm kg}{\rm m^3}.\)

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle \Delta T=15~^\circ\)C hőmérsékletváltozás hatására a testek térfogatának relatív megváltozása:

\(\displaystyle \frac{\Delta V_{1,2}}{V}=3\alpha_{1,2} \Delta T,\)

ahol \(\displaystyle \alpha_1\) és \(\displaystyle \alpha_2\) az alumínium, illetve a vas lineáris hőtágulási együtthatója. A két fémből álló rendszer megváltozott átlagsűrűsége:

\(\displaystyle \overline{\varrho}+\Delta\overline{\varrho}= \frac{2}{\frac{1+3\alpha_1 \Delta T}{\varrho_1}+\frac{1+3\alpha_2 \Delta T}{\varrho_2}}.\)

Az átlagsűrűség (kicsiny) megváltozását nem célszerű az eredeti és a megváltozott átlagsűrűségek numerikus értékének különbségeként számolni, mert két majdnem egyforma szám különbsége (a kerekítési hibák miatt) csak nagyon pontatlanul adja meg az eredményt. Ehelyett érdemes a két formula különbségét képezni:

\(\displaystyle \Delta\overline{\varrho}=\frac{2}{\frac{1+3\alpha_1 \Delta T}{\varrho_1}+\frac{1+3\alpha_2 \Delta T}{\varrho_2}}- \frac{2}{\frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2}} \approx -3\frac{2\Delta T}{\left( \frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2} \right)^2}\left( \frac{\alpha_1}{\varrho_1}+ \frac{\alpha_2}{\varrho_2}\right)\approx ~3{,}7~\frac{\rm kg}{\rm m^3}. \)

Statisztika:

60 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Baji Bence, Bartók Imre, Békési Ábel, Bíró Dániel, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Gál Péter Levente, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Horváth 999 Anikó, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy Balázs, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Schottner Kristóf Károly, Surján Botond, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás, Viczián Anna.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi fizika feladatai