Problem P. 5029. (April 2018)
P. 5029. An iron cube is placed to the top of an aluminium cube having the same mass as the iron cube.
\(\displaystyle a)\) What is the average density of the gained metal object?
\(\displaystyle b)\) By what amount measured in \(\displaystyle \rm g/dm^3\) does the average density of the object change if its temperature is increased by \(\displaystyle 15~{}^\circ\)C?
(4 pont)
Deadline expired on May 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük az alumíniumkocka sűrűségét \(\displaystyle \varrho_1\)-gyel, a vas sűrűségét \(\displaystyle \varrho_2\)-vel, az egyes darabok tömegét pedig \(\displaystyle m\)-mel. A kockák térfogata \(\displaystyle m/\varrho_1\), illetve \(\displaystyle m/\varrho_2\), az egész fémtömb átlagsűrűsége tehát
\(\displaystyle \overline{\varrho}=\frac{2m}{\frac{m}{\varrho_1}+\frac{m}{\varrho_2}}=\frac{2}{\frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2}},\)
ami a \(\displaystyle \varrho_1\) és \(\displaystyle \varrho_2\) sűrűségek harmonikus közepe. A vas és az alamínium ismert sűrűségével számolva
\(\displaystyle \overline{\varrho}\approx 4020~\frac{\rm kg}{\rm m^3}.\)
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle \Delta T=15~^\circ\)C hőmérsékletváltozás hatására a testek térfogatának relatív megváltozása:
\(\displaystyle \frac{\Delta V_{1,2}}{V}=3\alpha_{1,2} \Delta T,\)
ahol \(\displaystyle \alpha_1\) és \(\displaystyle \alpha_2\) az alumínium, illetve a vas lineáris hőtágulási együtthatója. A két fémből álló rendszer megváltozott átlagsűrűsége:
\(\displaystyle \overline{\varrho}+\Delta\overline{\varrho}= \frac{2}{\frac{1+3\alpha_1 \Delta T}{\varrho_1}+\frac{1+3\alpha_2 \Delta T}{\varrho_2}}.\)
Az átlagsűrűség (kicsiny) megváltozását nem célszerű az eredeti és a megváltozott átlagsűrűségek numerikus értékének különbségeként számolni, mert két majdnem egyforma szám különbsége (a kerekítési hibák miatt) csak nagyon pontatlanul adja meg az eredményt. Ehelyett érdemes a két formula különbségét képezni:
\(\displaystyle \Delta\overline{\varrho}=\frac{2}{\frac{1+3\alpha_1 \Delta T}{\varrho_1}+\frac{1+3\alpha_2 \Delta T}{\varrho_2}}- \frac{2}{\frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2}} \approx -3\frac{2\Delta T}{\left( \frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2} \right)^2}\left( \frac{\alpha_1}{\varrho_1}+ \frac{\alpha_2}{\varrho_2}\right)\approx ~3{,}7~\frac{\rm kg}{\rm m^3}. \)
Statistics:
60 students sent a solution. 4 points: Baji Bence, Bartók Imre, Békési Ábel, Bíró Dániel, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Gál Péter Levente, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Horváth 999 Anikó, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy Balázs, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Schottner Kristóf Károly, Surján Botond, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás, Viczián Anna. 3 points: 15 students. 2 points: 3 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, April 2018