Problem P. 5030. (April 2018)

P. 5030. Small metal spheres of mass \(\displaystyle m\) were attached to an insulating rod of mass \(\displaystyle m\) and of length \(\displaystyle 4d\). There is another metal sphere (with a hole through it) of mass \(\displaystyle m\), at a distance of \(\displaystyle d\) from one of the ends of the rod. This sphere can move frictionlessly along the rod. All the three metal spheres are given a charge of \(\displaystyle Q\), and the system is released – the system is floating in a space station.

What will the maximum speed of the sphere in the middle be and how much distance will the spheres move until the maximum speed is reached?

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Amikor a középső test sebessége maximális, a gyorsulása nulla, tehát a rá ható eredő erő is nulla. Ez a feltétel a szigetelő pálca közepénél, vagyis az egész rendszer tömegközéppontjában teljesül.

A tömegközéppont az átfúrt gömb kezdeti helyzetétől balra, attól

\(\displaystyle x=\frac{m\cdot 3d+m\cdot d-m\cdot d}{m+m+m+m}=\frac{3}{4}d\)

távolságra található. A tömegközéppont a mozgás során ugyanazon a helyen marad, tehát a legnagyobb sebesség eléréséig az átfúrt gömb \(\displaystyle (3/4)d\) távolságnyit mozdul el balra, a rúd pedig \(\displaystyle (1/4)d\) távolságnyit mozdul el jobbra.

Ha az \(\displaystyle m\) tömegű átfúrt fémgömb legnagyobb sebessége \(\displaystyle v\), akkor (a lendületmegmaradás törvénye szerint) a \(\displaystyle 3m\) össztömegű szigetelő pálca + a végeihez rögzített fémgömbökből álló rendszer sebessége \(\displaystyle v/3\). Az energiamegmaradás törvénye szerint:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(3m)\left(\frac{v}{3}\right)^2=\frac{kQ^2}{d}\left(1+\frac13-\frac12-\frac12\right),\)

ahonnan az átfúrt gömb maximális sebessége (balra)

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{kQ^2}{2md}},\)

a szigetelő pálca legnagyobb sebessége pedig (jobbra)

\(\displaystyle 3v=3\sqrt{\frac{kQ^2}{2md}}.\)

Statistics:

31 students sent a solution.
4 points:	Csuha Boglárka, Fajszi Bulcsú, Jánosik Áron, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid, Tordai Tegze.
3 points:	Bartók Imre, Illés Gergely, Kozák 023 Áron, Kozák András, Vaszary Tamás.
2 points:	14 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2018