Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5032. (April 2018)

P. 5032. At what speed will the nucleus of a \(\displaystyle {}^{220}_{~86}\rm Rn\) atom be pushed back when it ejects an \(\displaystyle \alpha\) particle? The mass of the radon isotope is \(\displaystyle 220.011\,394\) u and the mass of the remaining \(\displaystyle {}^{216}_{~84}\rm Po\) polonium isotope is \(\displaystyle 216.001\,915\) u.

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A folyamatban részt vevő izotópok (semleges) atomtömege (5 tizedesjegy pontossággal)

\(\displaystyle m_{\rm Rn}=220{,}011\,39~{\rm u};\qquad m_{\rm Po}=216{,}001\,91~{\rm u};\qquad m_{\rm He}=4{,}002\,60~{\rm u}. \)

A tömeghiány:

\(\displaystyle \Delta M=m_{\rm Rn}-m_{\rm Po}-m_{\rm He}=0{,}006\,88~{\rm u}.\)

Megjegyzés: A fenti atomtömeg-értékek tartalmazzák a semleges atomokban található elektronok tömegét is, ez azonban a tömegkülönbségből kiesik, hiszen a folyamatban részt vevő elektronok száma nem változik. Emiatt \(\displaystyle \Delta M\) megegyezik az atommagok tömegkülönbségével, tehát felhasználható a felszabaduló energia kiszámításánál is.

Vigyázat: Ha a héliumatom helyett az alfa-részecske \(\displaystyle m_{\alpha}=4{,}0015\,\rm u\) tömegével számoljuk a tömeghiányt, de a többi izotópnál a semleges atomok tömegét írjuk be a képletbe, a 3. tizedesjegyben, vagyis a legelső értékes jegyben már hibás eredményt kapunk.

A radon radioaktív izotópjának \(\displaystyle \alpha\)-bomlása során felszabaduló energia: \(\displaystyle \Delta E=\Delta M c^2\), ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség. Mivel ez az energia nagyságrendekkel kisebb, mint az \(\displaystyle \alpha\)-részecske kb. \(\displaystyle 4~{\rm u}\cdot c^2\) nyugalmi energiája, a bomlástermékek mozgási energiáját számíthatjuk a klasszikus (newtoni) fizika képleteinek felhasználásával:

\(\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}m_{\rm Po} v_{\rm Po} ^2+\frac{1}{2}m_\alpha v_\alpha ^2,\)

valamint

\(\displaystyle m_{\rm Po} v_{\rm Po}- m_\alpha v_\alpha=0.\)

Ezek szerint a bomlás után visszamaradó polónium atommag sebessége

\(\displaystyle v_{\rm Po}=c\sqrt{\frac{2\Delta M\cdot m_\alpha }{m_{\rm Po}\left( m_{\rm Po}+m_\alpha\right) }}\approx c\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}006\,88\cdot 4 }{216\cdot 220}}=0{,}001\,08~c=323~\frac{\rm km}{\rm s}.\)


Statistics:

16 students sent a solution.
4 points:Csire Roland, Morvai Orsolya, Ónodi Gergely.
3 points:Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Molnár Mátyás, Pszota Máté, Tordai Tegze.
2 points:3 students.
0 point:4 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2018