Problem P. 5033. (April 2018)
P. 5033. The angular momentum of the interstellar cloud of mass \(\displaystyle M\), consisting of cosmic dust and gases, is \(\displaystyle N\). Due to the internal gravitational effects the total material of the cloud forms two small spheres, thus a binary star system is created.
\(\displaystyle a)\) What is the period \(\displaystyle T_\text{star}\) of the binary star revolving about its centre of mass, if the paths of the stars are circular and the masses of the stars are \(\displaystyle m_1\) and \(\displaystyle m_2\)? (\(\displaystyle m_1+m_2=M\) and \(\displaystyle m_1\le m_2\).)
\(\displaystyle b)\) What can the distance between the stars be?
\(\displaystyle c)\) If the distance between the two stars is not exactly constant, but varies with a small amplitude, what may the period of this variation be?
(6 pont)
Deadline expired on May 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A perdületmegmaradás és a Newton-féle mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle T_\text{csillag}=2\pi \frac{N^3(m_1+m_2)}{\gamma^2m_1^3m_2^3}\ge 128\,\pi \frac{ N^3}{\gamma^2M^5}.\)
\(\displaystyle b)\) A két csillag távolsága
\(\displaystyle d=\frac{N^2(m_1+m_2)}{\gamma m_1^2m_2^2}\ge \frac{16\,N^2 }{\gamma M^3} .\)
\(\displaystyle c)\) Ha a csillagok nem kör, hanem egy-egy kicsiny \(\displaystyle \varepsilon \ll 1\) excentricitású ellipszisen keringenek a közös tömegközéppontjuk körül, a keringés ideje (Kepler III. törvénye szerint) az ellipszis területével arányos. Ez azonban ,,első közelítésben'' ugyanakkora, mint a nulla excentricitású kör területe (az eltérés csak \(\displaystyle \varepsilon\) négyzetével arányos), emiatt az ellipszispályán a keringési idő – ebben a közelítésben – ugyanakkora, mint a körmozgás keringési ideje. A két mozgás eltérése a kettőscsillaggal együttforgó koordináta-rendszerből nézve kis amplitúdójú rezgésnek mutatkozik, amelyre
\(\displaystyle T_\text{rezgés}=T_\text{csillag}2\pi \frac{N^3(m_1+m_2)}{\gamma^2m_1^3m_2^3}.\)
Statistics:
18 students sent a solution. 6 points: Fajszi Bulcsú, Marozsák Tóbiás , Tordai Tegze. 5 points: Édes Lili, Elek Péter, Kondákor Márk, Máth Benedek, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid. 4 points: 3 students. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, April 2018