Problem P. 5035. (May 2018)

P. 5035. In winter a favourite type of food for titmice is a fat ball consisting of fat and different seeds. These balls are suspended by means of a piece of thread and hung to a branch of a tree. Even two tits can feed themselves from the same ball at the same time. Once there were two tits on the same ball of mass 90 g, when suddenly they got frightened and flew off at the same moment, with the same initial speed, in perpendicular directions, such that both tits initial velocity made an angle of \(\displaystyle 35^\circ\) degree with the horizontal. The fat ball began to swing with a period of 1.4 s, the angular displacement of the thread (with respect to the vertical) was \(\displaystyle 10^\circ\). The mass of each titmouse is 18 g.

What was the initial speed of the tits?

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A faggyúgolyó \(\displaystyle T\) lengésidejéből kiszámítható a fonál hossza:

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{{\frac{\ell}{g}}}, \qquad \ell=\frac{gT^2}{4\pi^2}=0{,}49~\rm m.\)

A lengés szögkitéréséből (az energiamegmaradás tételét alkalmazva) meghatározható a meglökött faggyúgolyó kezdősebessége:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2= mg\ell(1-\cos 10^\circ),\qquad \text{innen} \qquad v_0=0{,}38~\frac{\rm m}{\rm s}. \)

Ha az (egyenként) \(\displaystyle m\) tömegű cinkék \(\displaystyle v\) sebességgel röppentek fel, az összes lendületük \(\displaystyle \sqrt{2}mv\), és ennek a vektornak a vízszintes vetülete \(\displaystyle \sqrt{2}mv\cdot \cos 54{,}2^\circ\). (Belátható, hogy az eredő lendületvektor a vízszintes síkkal \(\displaystyle 54{,}2^\circ\)-os szöget zár be.) Ez a lendület-összetevő megegyezik a meglökött faggyúgolyó kezdeti lendületével, hiszen a hirtelen felröppenéskor a még függőleges fonál nem fejthet ki vízszintes irányú erőt. A lendületmegmaradás törvénye szerint:

\(\displaystyle \sqrt{2}(18~{\rm g})\cdot v \cos 54{,}2^\circ=(90~{\rm g})\cdot 0{,}38~\frac{\rm m}{\rm s},\)

ahonnan a cinkék keresett sebessége:

\(\displaystyle v=2{,}3~ \frac{\rm m}{\rm s}.\)

Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:	Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás , Sal Dávid, Vaszary Tamás.
4 points:	Bartók Imre, Bonifert Balázs, Csire Roland, Édes Lili, Elek Péter, Geretovszky Anna, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Klučka Vivien, Kondákor Márk, Kozák 023 Áron, Kozák András, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Pszota Máté, Rusvai Miklós, Schneider Anna, Selmi Bálint, Turcsányi Ádám, Vass Bence.
3 points:	7 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, May 2018