Problem P. 5036. (May 2018)

P. 5036. The smallest distance between the Sun and a comet revolving around it is 0.5 AU and the greatest one is 31.5 AU.

\(\displaystyle a)\) What is the period of the comet?

\(\displaystyle b)\) What is the area which is swept by the line segment drawn from the Sun to the comet in one year? (Consider the Sun to be at rest.)

(4 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A napközel (perihélium) és naptávol (aphélium) megadott értékei az ellipszispálya adataival kifejezve (csillagászati egységben mérve):

\(\displaystyle a-c=0{,}5 \qquad \text{és}\qquad a+c=31{,}5.\)

Innen a nagytengely hossza: \(\displaystyle 2a=32,\) ami 16-szor nagyobb, mint a Föld pályájának nagytengelye. Kepler III. törvénye szerint a keringési idő a nagytengely 3/2-ik hatványával arányos, tehát a kérdéses üstökösre

\(\displaystyle T_\text{üstökös}=16^{3/2}\cdot T_\text{Föld}=64~\text{év}.\)

\(\displaystyle b)\) A vezérsugár által súrolt terület (Kepler II. törvénye szerint) az idővel egyenesen arányos. Eszerint egy év alatt az ellipszis teljes \(\displaystyle ab\pi\) területének \(\displaystyle \tfrac1{64}\) részét súrolja a vezérsugár. Az ellipszis fél kistengelyét így számíthatjuk ki:

\(\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{(a-c)(a+c)}=\sqrt{0{,}5\cdot 31{,}5}=3{,}97~\text{CSE},\)

a keresett terület pedig

\(\displaystyle A \text{(1 év)}=\frac{16\cdot 3{,}97\cdot 3{,}14 }{64}=3{,}12 ~\text{(CSE)}^2.\)

Statistics:

41 students sent a solution.
4 points:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Conrád Márk, Csire Roland, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Lipták Gergő, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Merkl Gergely, Merkl Levente, Sas 202 Mór, Tafferner Zoltán, Turcsányi Ádám, Turcsányi Máté, Viczián Anna.
3 points:	Boros Máté, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Hajnal Dániel Konrád, Klučka Vivien, Magyar Róbert Attila, Ónodi Gergely, Pszota Máté, Selmi Bálint, Vaszary Tamás.
2 points:	4 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2018