Problem P. 5037. (May 2018)

P. 5037. A 50 cm long, 100 g mass chain of small links is hung such that its lower end is just above a scale. Suddenly the chain is released.

Determine and sketch the reading on the scale as a function of the distance of the top of the chain and the scale; and as a function of the time elapsed from the release of the chain.

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a lánc teljes tömegét \(\displaystyle m\)-mel, hosszát \(\displaystyle L\)-lel, a tetejének a mérlegtől mért távolságát \(\displaystyle s\)-sel, az elengedésétől számított időt pedig \(\displaystyle t\)-vel.

A lánc által megtett út: \(\displaystyle \frac{g}{2}t^2,\) így

\(\displaystyle s=L-\frac{g}{2}t^2.\)

A lánc sebessége \(\displaystyle v=gt\), így \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle v\Delta t \frac{m}{L}\) tömegű, \(\displaystyle \Delta I=v^2\Delta t \frac{m}{L}\) lendületű láncdarab fékeződik le a mérlegtányéron. A mérlegen \(\displaystyle t\) idővel az indítás után \(\displaystyle m'=\frac{m}{L}\frac{g}{2}t^2\) tömegű, \(\displaystyle \frac{mg}{L}\frac{g}{2}t^2\) súlyú láncdarab található. A mérleg által mutatott érték:

\(\displaystyle G(t)=m'g+\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{3mg^2t^2}{2L},\)

ami az \(\displaystyle s\) távolsággal is kifejezhető:

\(\displaystyle G(s)= 3mg \left(1-\frac{s}{L}\right) .\)

A lánc \(\displaystyle T=\sqrt{2L/g}\) idő alatt éri el az \(\displaystyle s=0\) értéket (vagyis amikor a lánc teljes egészében a mérlegre kerül), ekkor a mérleg \(\displaystyle 3mg\) súlyt, vagy ennek megfelelő tömeget mutat.

Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:	Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Kondákor Márk, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid.
4 points:	Bukor Benedek.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2018