Problem P. 5038. (May 2018)
P. 5038. Two short but strong boys are standing next to each other. One of them, called Andrew, throws a snowball at an initial speed of \(\displaystyle v_0=10\) m/s at an angle of \(\displaystyle \alpha=30^\circ\) with respect to the horizontal. His friend Bernard throws another ball at some velocity after the reaction time of \(\displaystyle t_0=0.5\) s has elapsed. Bernard's goal is to make the two snowballs collide whilst they are in the air. What should the least speed of the second ball be in order that Bernard has a chance to hit Andrew's ball? (The boys are standing in a level field, their shoulders are at a height of \(\displaystyle h=1\) m. For the sake of simplicity do not consider air drag.)
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Vegyünk fel egy olyan koordináta-rendszert, amelynek origója a fiúk vállánál van, \(\displaystyle x\) tengelye vízszintes, \(\displaystyle y\) tengelye függőlegesen felfelé mutat. Bendegúz hógolyójának kezdősebessége legyen vízszintes irányban \(\displaystyle v^{\rm B}_x\), függőlegesen \(\displaystyle v^{\rm B}_y\), és a földet éréséig eltelő idő pedig \(\displaystyle t\). (Ez a három mennyiség pillanatnyilag még nem ismert.)
András hógolyója
\(\displaystyle v^{\rm A}_x=v_0\cos\alpha= 8{,}66 ~{\rm m/s} \qquad \text{és}\qquad v^{\rm A}_y=v_0\sin\alpha= 5{,}00 ~{\rm m/s}\)
kezdősebességgel indul, és \(\displaystyle t_0+t\) idő alatt vízszintes irányban
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle d=v^{\rm A}_x(t+t_0),\) |
függőlegesen pedig
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v^{\rm A}_y(t+t_0)-\frac{g}{2}(t+t_0)^2=-h\) |
,,magasságba'' kerül.
A (2) egyenletből kiszámíthatjuk, hogy
\(\displaystyle t+t_0= 1{,}19~{\rm s}, \qquad \text{vagyis}\qquad t=0{,}69~{\rm s},\)
az (1) egyenletből pedig \(\displaystyle d=10{,}3 ~\rm m\) adódik.
Tételezzük fel, hogy a két hógolyó közvetlenül a leesésük pillanatában találkozik. (Belátható, hogy Bendegúz ebben az esetben kell a legkisebb sebességgel eldobja a hógolyóját.) Ekkor felírható, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle d=v^{\rm B}_xt, \) |
továbbá
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle v^{\rm B}_yt -\frac{g}{2}t^2=-h.\) |
Ezekből
\(\displaystyle v^{\rm B}_x=14{,}9 ~{\rm m/s} \qquad \text{és}\qquad v^{\rm B}_9=1 {,}93 ~{\rm m/s}, \)
Bendegúz dobásának kezdősebességére pedig
\(\displaystyle v^{\rm B}=\sqrt{\left(v^{\rm B}_x\right)^2+ \left(v^{\rm B}_y\right)^2} =15 {,}0 ~{\rm m/s} \)
adódik.
II. megoldás. András hólyolyója \(\displaystyle t_0\) idő alatt az
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle x=v^{\rm A}_x t_0 , \qquad y=v^{\rm A}_y t_0 -\frac{g}{2} t_0 ^2\) |
koordinátájú helyen lesz, és a sebessége
\(\displaystyle u_x=v^{\rm A}_x, \qquad u_y=v^{\rm A}_y -gt_0.\)
Üljünk bele a \(\displaystyle t_0\) pillanatban az András hógolyójához rögzített (szabadon eső, tehát lefelé gyorsuló) koordináta-rendszerbe! Ebben a rendszerben mindkét hógolyó ,,súlytalan'', András hógolyója áll, Bendegúzé pedig egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, és még azelőtt el kell érnie Andrásét, mielőtt az leesne a földre. Bendegúz a hógolyó eldobásának pillanatában \(\displaystyle \left(-u_x, -u_y\right)\) sebességgel mozog, az általa eldobott hógolyó sebessége tehát
\(\displaystyle \left(-u_x+v_x^{\rm B}, -u_y+v_y^{\rm B}\right)\)
lesz. Ezzel a sebességgel akkor jut el \(\displaystyle t\) idő alatt az (5) által megadott \(\displaystyle (x,y)\) pontba, ha fennáll:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \left(v^{\rm B}_x-v^{\rm A}_x\right)t=v^{\rm A}_x t_0,\) |
illetve
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle \left(v_y^{\rm B}-v^{\rm A}_y +gt_0\right)t=v^{\rm A}_y t_0 -\frac{g}{2} t_0 ^2.\) |
Ez a két egyenlet egyenértékű az I. megoldás (1) és (3), illetve (2) és (4) egyenletének különbségével.
1. ábra
A hógolyók összeütközésének pillanata nem lehet későbbi, mint amikor azok földet érnek. Az 1. ábrán láthatjuk a (6) és (7) egyenletek vektoros szemléltetését abban az esetben, ha \(\displaystyle -\boldsymbol{u}\) és \(\displaystyle \boldsymbol{r}\) tompaszöget zárnak be egymással. (A feladat számadatai mellett ez a helyzet.) Bendegúz hógolyójának András hógolyójához viszonyított sebessége
\(\displaystyle \boldsymbol{v}_\text{eredő}= -\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}^{\rm B}.\)
Ennek nagysága annál kisebb (tehát annál később következik be az összeütközés), minél kisebb \(\displaystyle v_B\). A \(\displaystyle t\) időtartamnak korlátot szab a földet érés, tehát a legkisebb \(\displaystyle v_B\) a leghosszabb idejű mozgásnál, a földfelszínen történő összeütközés felel meg.
Megjegyzés. Elképzelhetők olyan \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle v_0\) és \(\displaystyle t_0\) adatok, hogy \(\displaystyle -\boldsymbol{u}\) és \(\displaystyle \boldsymbol{r}\) hegyesszöget zárnak be egymással (2. ábra). (Ez csak akkor következhet be, ha \(\displaystyle \sin^2\alpha>8/9\), vagyis \(\displaystyle \alpha>70{,}5^\circ\)). A feladatban szereplő 30\(\displaystyle ^\circ\)-os szög nem teljesíti ezt a feltételt.
2. ábra
Ilyen (hegyesszögű) esetben Bendegúz hógolyójának minimális nagyságú kezdősebessége a 2. ábrán látható merőleges szerkesztésével kapható meg. Természetesen teljesülnie kell még annak is, hogy ezen helyzetnek megfelelő időtartam alatt a hógolyók még nem estek le a földre, vagyis \(\displaystyle h\) ,,elegendően'' nagy.
A ,,hegyesszögű'' esetre nyilvánvaló (triviális) példa, amikor András majdnem pontosan függőlegesen felfelé dobja el a hógolyót. Ilyenkor Bendegúz legjobb stratégiája az, ha akkor dobja el a saját hógolyóját, amikor a másik a legközelebb ér hozzá (majdnem a fejére esik).
Statistics:
33 students sent a solution. 5 points: Békési Ábel, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kondákor Márk, Kozák András, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Máth Benedek, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Póta Balázs, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Tafferner Zoltán, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás. 4 points: Bartók Imre, Édes Lili, Horváth 999 Anikó, Lipták Gergő, Molnár Mátyás, Sas 202 Mór, Takács Árpád, Viczián Anna. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2018