Problem P. 5039. (May 2018)

P. 5039. The lengths of two light, rigid rods are \(\displaystyle \ell_1\) and \(\displaystyle \ell_2\). To one end of each a small object is attached, one having a mass of \(\displaystyle m_1\) and the other \(\displaystyle m_2\). The other ends of the rods are attached to each other rigidly such that the angle between the rods is \(\displaystyle \alpha\). The system is pivoted at the attachment of the rods and can swing freely about a horizontal axis, in a plane determined by the rods. What is the period of the motion of the system when it is displaced a bit from its equilibrium position?

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A rendszer egy fizikai inga, melynek tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre vonatkoztatva

\(\displaystyle \Theta=m_1\ell_1^2+m_2\ell_2^2,\)

a tömegközéppontja pedig

\(\displaystyle d=\frac{\sqrt{m_1^2\ell_1^2+m_2^2\ell_2^2+2m_1m_2\ell_1\ell_2\cos\alpha}}{m_1+m_2}\)

távol van a forgástengelytől. Ez utóbbi összefüggést úgy láthatjuk be, hogy a tömegközéppontba mutató

\(\displaystyle {\boldsymbol d} =\frac{m_1}{m_1+m_2}{\boldsymbol \ell}_1+\frac{m_2}{m_1+m_2}{\boldsymbol \ell}_2\)

vektor önmagával vett skalárszorzatát képezzük, vagy a koszinusztételt alkalmazzuk az

\(\displaystyle \frac{m_1\ell_1}{m_1+m_2} \qquad \text{és} \qquad \frac{m_2\ell_2}{m_1+m_2}\)

oldalú, \(\displaystyle 180^\circ-\alpha\) szögű háromszögre.

A rendszer lengésideje:

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{ \frac{\Theta}{\left(m_1+m_2\right)gd} }=2\pi\sqrt{ \frac{m_1\ell_1^2+m_2\ell_2^2}{g\sqrt{m_1^2\ell_1^2+m_2^2\ell_2^2+2m_1m_2\ell_1\ell_2\cos\alpha}}}. \)

Statistics:

19 students sent a solution.
5 points:	Bukor Benedek, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Lipták Gergő, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Póta Balázs, Sal Dávid.
4 points:	Turcsányi Ádám.
3 points:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2018