Problem P. 5041. (May 2018)
P. 5041. There is a pair of fixed, parallel rails of negligible resistance in a horizontal plane at a distance of \(\displaystyle L=10\) cm. The rails are connected at one of their ends to the terminals of a voltage supply of constant voltage of \(\displaystyle U_0=0.3\) V, as shown in the figure. The system is in downward magnetic field of magnetic induction of \(\displaystyle B=1\) T. A metal rod of resistance \(\displaystyle R=0.2~\Omega\) is placed perpendicularly to the rails. The rod can move frictionlessly on the rails.
What is the magnitude and the direction of the force which is to be exerted on the rod in order that it moves at a constant speed of \(\displaystyle v\) in the direction shown in the figure if
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle v=1\) m/s;
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle v=5\) m/s?
\(\displaystyle c)\) What is the dissipated power of the battery in both cases?
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a fémpálcát egyenletes sebességgel mozgató ember által kifejtett erőt \(\displaystyle F\)-fel, a pálcán, a síneken és a telepen átfolyó áram erősséget pedig \(\displaystyle I\)-vel, az ábrán jelölt irányokat tekintve pozitívnak. (Ha az áram vagy az erő tényleges iránya az ábrán jelölttel ellentétes lenne, azt a megfelelő fizikai mennyiségek negatív előjele fogja jelezni.)
A mozgó fémpálcában \(\displaystyle U_1=BLv\) nagyságú feszültség indukálódik, ami (és a telep feszültsége) együttesen
\(\displaystyle I=\frac{U_0-BLv}{R}\)
áramot hoz létre. Az áramjárta, mozgó pálcára a mágneses mező \(\displaystyle F=BIL\) nagyságú erőt fejt ki, ami (\(\displaystyle I>0\) esetén) a telep irányába húzza a pálcát. Az egyenletes mozgás fenntartásához a pálcát mozgató embernek a teleppel ellentétes irányban, balra kell húznia a fémpálcát, ahogy azt az ábra mutatja.
Az ember által kifejtett teljesítmény:
\(\displaystyle P_\text{ember}=-Fv=-BILv=\frac{BLv-U_0}{R}BLv=\frac{(BLv)^2 }{R}-\frac{BLv}{R} U_0.\)
Másrészt a telep által leadott teljesítmény:
\(\displaystyle P_\text{telep}=U_0I=\frac{U_0^2}{R}-\frac{BLv}{R} U_0.\)
Ennek a két teljesítménynek az összege éppen az \(\displaystyle R\) ellenálláson időegységenként fejlődő Joule-hővel egyezik meg:
\(\displaystyle P_\text{ember}+ P_\text{telep}=\frac{(U_0-BLv)^2}{R}=I^2R=P_\text{Joule},\)
tehát a munkatétel általánosított alakja a jelen esetben is teljesül.
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle v=1\) m/s esetén \(\displaystyle I=1{,}0~\rm A\), \(\displaystyle F=0{,}1~\rm N\), így
\(\displaystyle P_\text{ember}=-0{,}1~{\rm W};\qquad P_\text{telep}=+0{,}3~{\rm W};\qquad P_\text{Joule}=+0{,}2~{\rm W}.\)
A telep több munkát végez, mint a fejlődő Joule-hő, a különbözet az emberen végzett munkával egyezik meg.
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle v=5\) m/s esetén \(\displaystyle I=-1{,}0~\rm A\), \(\displaystyle F=-0{,}1~\rm N\), továbbá
\(\displaystyle P_\text{ember}= 0{,}5~{\rm W};\qquad P_\text{telep}=-0{,}3~{\rm W};\qquad P_\text{Joule}=+0{,}2~{\rm W}.\)
Az ember most több munkát végez, mint a Joule-hő, a különbözetet a telep (akkumulátor) veszi fel, annak energiáját növeli.
Statistics:
29 students sent a solution. 5 points: Bukor Benedek, Csire Roland, Debreczeni Tibor, Illés Gergely, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid, Vaszary Tamás. 4 points: Bartók Imre, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Kondákor Márk, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Rusvai Miklós, Tafferner Zoltán, Turcsányi Ádám. 3 points: 3 students. 2 points: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2018