Problem P. 5043. (May 2018)
P. 5043. A deuterium of kinetic energy \(\displaystyle 1.6\cdot 10^{-13}\) J collides with a stationary tritium. The following nuclear reaction occurs:
\(\displaystyle {}^2_1{\rm H}+ {}^3_1{\rm H}\rightarrow {}^4_2{\rm He}+ {}^1_0{\rm n}. \)
The angle between velocity of the emitted neutron and the velocity of the deuterium is \(\displaystyle 60^\circ\).
\(\displaystyle a)\) How much energy is released?
\(\displaystyle b)\) What is the kinetic energy of the \(\displaystyle \alpha\)-particle and the neutron, after the collision?
\(\displaystyle c)\) What is the angle between the velocities of the \(\displaystyle \alpha\)-particle and the deuterium?
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Táblázati adat szerint a reakcióban \(\displaystyle \Delta E=17{,}6~\)MeV energia szabadul fel. Ugyanezt a tömegcsökkenésből is megkaphatjuk:
\(\displaystyle m_\text{deutérium}+m_\text{trícium}-m_\alpha-m_\text{neutron}=0{,}018\,88~{\rm u}=17{,}58\frac{\rm MeV}{c^2}.\)
\(\displaystyle b)\) A deutérium sebessége a megadott mozgási energiából (nemrelativisztikusan) számolva: \(\displaystyle v_{\rm d}=9{,}78\cdot 10^6~\)m/s Ez sokkal kisebb, mint a fénysebesség, a nemrelativisztikus képlet alkalmazása tehát jogos volt.
A deutérium mozgási energiája \(\displaystyle E_0=1{,}0~\)MeV, a reakció során felszabaduló energia 17,6 MeV, az \(\displaystyle \alpha\)-részecske és a neutron összes mozgási energiája tehát 18,6 MeV. A deuteron impulzusa (az energiájából és a tömegéből számíthatóan) 61,25 MeV/\(\displaystyle c\).
Jelöljük az \(\displaystyle \alpha\)-részecske impulzusát \(\displaystyle x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\), a neutron impulzusát pedig \(\displaystyle y\cdot \frac{\rm MeV}{c}\) módon. Az \(\displaystyle \alpha\)-részecske mozgási energiája az impulzusával kifejezve (és az atomtömeg táblázati értékét felhasználva):
\(\displaystyle E_\alpha=\frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\, {\rm u}}= \frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\cdot 931{,}49\,\frac{\rm MeV}{c^2}}=1{,}341\cdot10^{-4}~{\rm MeV}\cdot x^2. \)
Hasonló módon adódik, hogy a neutron mozgási energiája \(\displaystyle 5{,}321\cdot 10^{-4}~{\rm MeV}\cdot y^2.\)
Az energiamegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 18{,}6= 1{,}341\cdot 10^{-4} x^2+5{,}321\cdot 10^{-4} y^2,\) |
az impulzusmegmaradás törvénye szerint pedig
\(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 61{,}25=x\,\cos\varphi+\frac{1}{2}y,\) |
\(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle x\,\sin\varphi=y\frac{\sqrt{3}}{2},\) |
ahol \(\displaystyle \varphi\) az \(\displaystyle \alpha\)-részecske sebességének iránya a deuteron sebességébez viszonyítva.
Az (1)-(3) egyenletekből kiszámíthatjuk, hogy \(\displaystyle \varphi=99{,}3^\circ\) és \(\displaystyle x=150{,}0\), továbbá \(\displaystyle y=171{,}1\). A reakció során keletkező részecskék energiája tehát \(\displaystyle E_\alpha=3{,}0~{\rm MeV}=0{,}48~\)pJ és \(\displaystyle E_\text{neutron}=15{,}6~{\rm MeV}=2{,}50~\)pJ.
Statistics:
14 students sent a solution. 5 points: Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás . 4 points: Bukor Benedek. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, May 2018