Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5043. (May 2018)

P. 5043. A deuterium of kinetic energy \(\displaystyle 1.6\cdot 10^{-13}\) J collides with a stationary tritium. The following nuclear reaction occurs:

\(\displaystyle {}^2_1{\rm H}+ {}^3_1{\rm H}\rightarrow {}^4_2{\rm He}+ {}^1_0{\rm n}. \)

The angle between velocity of the emitted neutron and the velocity of the deuterium is \(\displaystyle 60^\circ\).

\(\displaystyle a)\) How much energy is released?

\(\displaystyle b)\) What is the kinetic energy of the \(\displaystyle \alpha\)-particle and the neutron, after the collision?

\(\displaystyle c)\) What is the angle between the velocities of the \(\displaystyle \alpha\)-particle and the deuterium?

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Táblázati adat szerint a reakcióban \(\displaystyle \Delta E=17{,}6~\)MeV energia szabadul fel. Ugyanezt a tömegcsökkenésből is megkaphatjuk:

\(\displaystyle m_\text{deutérium}+m_\text{trícium}-m_\alpha-m_\text{neutron}=0{,}018\,88~{\rm u}=17{,}58\frac{\rm MeV}{c^2}.\)

\(\displaystyle b)\) A deutérium sebessége a megadott mozgási energiából (nemrelativisztikusan) számolva: \(\displaystyle v_{\rm d}=9{,}78\cdot 10^6~\)m/s Ez sokkal kisebb, mint a fénysebesség, a nemrelativisztikus képlet alkalmazása tehát jogos volt.

A deutérium mozgási energiája \(\displaystyle E_0=1{,}0~\)MeV, a reakció során felszabaduló energia 17,6 MeV, az \(\displaystyle \alpha\)-részecske és a neutron összes mozgási energiája tehát 18,6 MeV. A deuteron impulzusa (az energiájából és a tömegéből számíthatóan) 61,25 MeV/\(\displaystyle c\).

Jelöljük az \(\displaystyle \alpha\)-részecske impulzusát \(\displaystyle x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\), a neutron impulzusát pedig \(\displaystyle y\cdot \frac{\rm MeV}{c}\) módon. Az \(\displaystyle \alpha\)-részecske mozgási energiája az impulzusával kifejezve (és az atomtömeg táblázati értékét felhasználva):

\(\displaystyle E_\alpha=\frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\, {\rm u}}= \frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\cdot 931{,}49\,\frac{\rm MeV}{c^2}}=1{,}341\cdot10^{-4}~{\rm MeV}\cdot x^2. \)

Hasonló módon adódik, hogy a neutron mozgási energiája \(\displaystyle 5{,}321\cdot 10^{-4}~{\rm MeV}\cdot y^2.\)

Az energiamegmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle 18{,}6= 1{,}341\cdot 10^{-4} x^2+5{,}321\cdot 10^{-4} y^2,\)

az impulzusmegmaradás törvénye szerint pedig

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle 61{,}25=x\,\cos\varphi+\frac{1}{2}y,\)
\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle x\,\sin\varphi=y\frac{\sqrt{3}}{2},\)

ahol \(\displaystyle \varphi\) az \(\displaystyle \alpha\)-részecske sebességének iránya a deuteron sebességébez viszonyítva.

Az (1)-(3) egyenletekből kiszámíthatjuk, hogy \(\displaystyle \varphi=99{,}3^\circ\) és \(\displaystyle x=150{,}0\), továbbá \(\displaystyle y=171{,}1\). A reakció során keletkező részecskék energiája tehát \(\displaystyle E_\alpha=3{,}0~{\rm MeV}=0{,}48~\)pJ és \(\displaystyle E_\text{neutron}=15{,}6~{\rm MeV}=2{,}50~\)pJ.


Statistics:

14 students sent a solution.
5 points:Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás .
4 points:Bukor Benedek.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2018