Problem P. 5048. (September 2018)

P. 5048. Estimate the pressure difference in the tyre of a car between an ,,inner'' point next to the rim of the wheel, and an ,,outer'' point next to the tread area. The excess pressure of the tyre when the car is at rest is 2 bars, and the maximum allowed speed on the motorway is 130 km/h.

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az autógumi belső sugara \(\displaystyle R_1\), a külső sugara \(\displaystyle R_2\), a levegő (átlagos) sűrűsége

\(\displaystyle \varrho=3\varrho_\text{normál}\approx 4~\frac{\rm kg}{\rm m^3},\)

az autó sebessége pedig \(\displaystyle v\approx 36~\)m/s. (\(\displaystyle \varrho_\text{normál}\) a normál légköri nyomáshoz tartozó sűrűség.)

Tekintsük az autógumiban lévő \(\displaystyle A\) keresztmetszetű, \(\displaystyle R_2-R_1\) magas, hasáb alakú levegő mozgását! Ennek a levegődarabnak a tömege \(\displaystyle m=\varrho A(R_2-R_1),\) tömegközéppontjának gyorsulása

\(\displaystyle a=\frac{R_1+R_2}{2}\omega^2=\frac{R_1+R_2}{2}\,\frac{v^2}{R_2^2},\)

a rá ható eredő erő pedig

\(\displaystyle F=p_2A-p_1A,\)

ahol \(\displaystyle p_1\) és \(\displaystyle p_2\) a levegő nyomása a belső, illetve a külső sugár mentén.

Az \(\displaystyle F=ma\) mozgásegyenlet szerint

\(\displaystyle p_2-p_1=\frac{R_2^2-R_1^2}{2R_2^2} \varrho v^2.\)

Ha a becslés során pl. az \(\displaystyle R_2\approx 3R_1\) méretarányt választjuk, a nyomáskülönbségre

\(\displaystyle \Delta p\approx 2~\rm kPa\)

adódik, ami a légköri nyomásnak mindössze 2 százaléka.

Megjegyzés. A megfontolásunk során elhanyagoltuk az autógumiban lévő levegő sűrűségének változását, a levegő felmelegedését, valamint a gumi görbültségét a belső és a külső sugaraknál.

Statistics:

8 students sent a solution.
4 points:	Olosz Adél.
2 points:	5 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, September 2018