Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5049. (September 2018)

P. 5049. To what minimum speed must a rocket be accelerated, in order that it reaches the Moon from the Earth? Compare this speed to the escape speed on Earth. (For the sake of simplicity, do not consider the motion of the Earth and the Moon.)

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Föld \(\displaystyle M\) tömege kb. 81-szer nagyobb, mint a Hold \(\displaystyle m\) tömege. A Föld közepes sugara \(\displaystyle R_\text{Föld}=6370~\)km, a Föld és a Hold középpontjának átlagos távolsága \(\displaystyle d=385\,000~\)km.

A Föld és a Hold között a Föld középpontjától \(\displaystyle \tfrac9{10}d\), a Holdétól \(\displaystyle \tfrac1{10}d\) távolságban van az a \(\displaystyle P\) pont, ahol a Föld és a Hold gravitációs vonzóereje éppen kiegyenlíti egymást. Ha a Hold nem mozogna, akkor a rakétának eddig a pontig kellene eljutnia, onnan már ,,magától'' ráesne a Holdra.

Ismerve, hogy \(\displaystyle m_1\) és \(\displaystyle m_2\) tömegű, egymástól \(\displaystyle r\) távolságban lévő testek gravitációs potenciális energiája \(\displaystyle -\gamma m_1m_2/r\), a Föld felszínéről \(\displaystyle v\) sebességgel elindított \(\displaystyle m_0\) tömegű test akkor jut el a \(\displaystyle P\) pontig, ha fennáll:

\(\displaystyle \frac{1}{2}m_0v^2-\gamma \frac{Mm_0}{R_\text{Föld}}-\gamma \frac{mm_0}{d-R_\text{Föld} }= -\gamma \frac{Mm_0}{\tfrac9{10}d } -\gamma \frac{mm_0}{\tfrac1{10}d }. \)

Innen az adatok behelyettesítése után

\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R_\text{Föld}}}\cdot 0{,}99. \)

Az első tényező a második kozmikus sebesség, értéke kb. 11,2 km/s. Ekkora sebességgel indított rakéta ,,végtelen messze'' eltávolodhat a Földtől. A második tényező nagysága csupán 1 százalékkal kisebb 1-nél. A Holdba juttatás minimális sebessége tehát (az adott egyszerűsítő feltevések mellett) 11,1 km/s.


Statistics:

80 students sent a solution.
5 points:Andorfi István, Beke Zsolt, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Elek Péter, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Gulácsi Máté, Hajdú Bálint, Hamilton-Meikle Jonathan György, Hartmann Alice, Hervay Bence, Horváth 127 Ádám, Jánosik Áron, Kondákor Márk, Kozák 023 Áron, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Sugár Soma, Szabó 314 László, Takács Árpád, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Turcsányi Ádám, Varga Vázsony, Vaszary Tamás.
4 points:8 students.
3 points:13 students.
2 points:2 students.
1 point:7 students.
0 point:4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:2 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, September 2018