Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5054. (September 2018)

P. 5054. A nucleus of rest mass \(\displaystyle M\), which is initially at rest can absorb a gamma quantum of energy \(\displaystyle hf\). Determine the excitation energy of this nucleus in the process. (So by what amount does its rest energy increase in the process?)

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle hf\ll Mc^2\), akkor a gerjesztési energia jó közelítéssel \(\displaystyle hf\)-fel egyezik meg. Pontosabb eredményt kapunk, ha figyelembe vesszük, hogy a gerjesztett atommag a gamma-kvantum elnyelésekor \(\displaystyle p=hf/c\) impulzusra is szert tesz, amihez \(\displaystyle p^2/(2M)\) mozgási energia tartozik. (Itt a mozgási energia nemrelativisztikus képletet alkalmaztuk, és a képletben nem vettük figyelembe az \(\displaystyle M\) tömeg megváltozását.) Az energia mérlegegyenlete ebben a közelítésben:

\(\displaystyle Mc^2+hf=(M+\Delta M)c^2+\frac{(hf)^2}{2Mc^2},\)

ahonnan a gerjesztési energia:

\(\displaystyle \Delta E= {c^2}{\Delta M}=hf\left(1-\frac{hf}{2Mc^2}\right).\)

Amennyiben \(\displaystyle hf\) összemérhető \(\displaystyle Mc^2\)-tel, akkor a relativisztikus energia- és impulzusképletet kell alkalmaznunk. A meglökött, gerjesztett atommag teljes energiája és impulzusa a laboratóriumi rendszerben:

\(\displaystyle E'=Mc^2+hf,\qquad p'=\frac{hf}{c},\)

a nyugalmi tömege pedig

\(\displaystyle M'=\sqrt{\left(\frac{E' }{c^2}\right)^2-\left(\frac{p' }{c}\right)^2}=M\sqrt{1+\frac{2hf}{Mc^2}}.\)

A nyugalmi tömeg növekedésének megfelelő gerjesztési energia:

\(\displaystyle \Delta E=(M'-M)c^2=Mc^2\left( \sqrt{1+\frac{2hf}{Mc^2}}-1\right).\)

Amennyiben a fenti négyzetgyökjel alatti kifejezés közel 1, akkor a

\(\displaystyle \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^2}{8}\)

közelítő képlet alkalmazásával visszakapjuk a nemrelativisztikus

\(\displaystyle \Delta E\approx hf\left(1-\frac{hf}{2Mc^2}\right)\)

eredményt.


Statistics:

28 students sent a solution.
5 points:Andorfi István, Arhaan Ahmad, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Fülöp Sámuel Sihombing, Kondákor Márk, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid, Toronyi András, Turcsányi Ádám, Varga Vázsony.
4 points:Kertész Balázs, Lipták Gergő, Schäffer Bálint, Székely Bálint.
3 points:3 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, September 2018