Problem P. 5055. (September 2018)

P. 5055. One end of a horizontally stretched rubber thread is moved periodically in the vertical direction, so transverse waves are travelling along the thread. A film is recorded about the motion of a small part of the thread, and three consecutive frames of this film are shown in the figure. In which direction does the energy propagate in the rope, from the left to the right or from the right to the left?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Hosszabbítsuk meg a filmkockákon látható hullámalakokat egészen addig, hogy feltűnjenek az adott pillanatbeli nulla kitéréshez tartozó csomópontok.

Az ábrán látszik, hogy a csomópont fokozatosan balra tolódik el, a hullámok tehát balra haladnak. Ez a megállapítás tulajdonképpen az azonos fázisú pontok haladási irányára (az ún. fázissebességre) vonatkozik, de ha nem lép fel diszperzió (vagyis a különböző frekvenciájú hullámok fázissebessége ugyanakkora), akkor a fázissebesség megegyezik a hullámvonulat egészének haladási sebességével, az ún. csoportsebességgel. A csoportsebesség mutatja meg, hogy a hullám milyen irányban és milyen gyorsan szállítja az energiát. Esetünkben tehát az energia jobbról balra terjed a gumikötélben, ilyen irányban szállítják a hullámok az energiát.

II. megoldás. Tekintsük a gumikötélnek egy kicsiny, a filmfelvétel képein vastagon jelölt darabkáját!

Ez a kötéldarab a bemutatott három filmkockán alulról felfelé mozdul el. (A vízszintes irányú elmozdulása elhanyagolhatóan kicsi, amennyiben a kötél csak kicsit tér el az egyensúlyi állapotától, az ábrákon szaggatottan jelölt egyenestől. A képeken ez nem teljesül, azok – a jobb áttekinthetőség kedvéért – erősen torzítottak.)

A kis kötéldarabra a tőle jobbra és a tőle balra lévő kötelek fejtenek ki erőt. (A nehézségi erőt egy erősen kifeszített gumikötélnél elhanyagolhatjuk a rugalmas erők mellett.) Mindkét kötélerő vízszintes komponense \(\displaystyle F_0\), ezek eredője jó közelítéssel nulla, összhangban azzal a megállapítással, hogy a kötéldarab vízszintes irányban nem mozdul el. A jobb oldali kötél \(\displaystyle F_1\) erővel húzza a kis kötéldarabot felfelé, a pillanatnyi sebességével megegyező irányban. Így a jobb oldali kötélrész munkát végez a kis kötéldarabon. A bal oldali kötélnél éppen fordított a helyzet: az \(\displaystyle F_2\) erő ellentétes irányú az elmozdulással, tehát itt a kis kötéldarab végez munkát a hozzá csatlakozó bal oldali kötélen.

A jobb oldali kötélrész energiája tehát csökken, a bal oldali részé pedig növekszik, vagyis a hullám terjedése közben az energia jobbról balra áramlik.

Statistics:

20 students sent a solution.
6 points:	Bokor Endre, Elek Péter, Fülöp Sámuel Sihombing, Hervay Bence, Makovsky Mihály, Olosz Adél, Rozgonyi Gergely, Székely Bálint, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony.
5 points:	Fekete Levente.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, September 2018