Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5057. feladat (2018. október)

P. 5057. Egy \(\displaystyle \alpha=30^\circ\) hajlásszögű lejtőre helyezünk egy \(\displaystyle m=0{,}5\) kg tömegű és egy \(\displaystyle 3m\) tömegű kicsiny testet, amelyek elhanyagolható tömegű, \(\displaystyle d=50\) cm hosszúságú, merev rúddal vannak összekapcsolva. A lejtő felső része súrlódásmentes, az alsó részén a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).

Kezdetben az \(\displaystyle m\) tömegű test \(\displaystyle L=40\) cm távolságra van attól a határvonaltól, ahol már van súrlódás, és \(\displaystyle s=120\) cm távol van a lejtő aljától. A két (pontszerűnek tekinthető) testből álló rendszert magára hagyjuk.

\(\displaystyle a)\) Adjuk meg a rúdban ébredő erőt a megtett út függvényében!

\(\displaystyle b)\) Mennyi idő alatt ér le az \(\displaystyle m\) tömegű test a lejtő aljára?

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A mozgás három szakaszra osztható.

1. Ha a megtett út kisebb, mint \(\displaystyle L\), mindkét test a lejtő súrlódásmentes részén mozog. A rendszer gyorsulása

\(\displaystyle a_1=g\sin\alpha\approx 4{,}905~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

a mozgás ideje pedig

\(\displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}}\approx 0{,}404~\rm s.\)

A rendszer sebessége ezen szakasz végén

\(\displaystyle v_1=a_1t_1\approx 1{,}98~\frac{\rm m}{\rm s }.\)

A mozgás ezen szakaszában a rúdban ható erő mindvégig nulla.

2. A második szakaszban az \(\displaystyle m\) tömegű test már súrlódva, a \(\displaystyle 3m\) tömegű súrlódásmentesen mozog. A mozgásegyenletek (a lejtő mentén lefelé mutató irányt tekintve pozitívnak):

\(\displaystyle mg(\sin\alpha-\mu \cos\alpha)+K=ma_2,\)

\(\displaystyle 3mg \sin\alpha-K=3ma_2.\)

A két egyenlet összegéből

\(\displaystyle a_2=g(\sin\alpha-\frac{\mu}{4}\cos\alpha)\approx 4{,}48~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

a rudat feszítő (összenyomó) erő:

\(\displaystyle K=mg\frac{3\mu}{4}\cos\alpha\approx 0{,}64~\rm N.\)

A rendszer sebessége ezen szakasz végén (pl. a munkatételből számolva):

\(\displaystyle v_2=\sqrt{v_1^2+2a_2d}\approx 2{,}90~\frac{\rm m}{\rm s},\)

a mozgás ideje pedig a második szakaszban:

\(\displaystyle t_2=\frac {v_2-v_1}{a_2}= 0{,}205~ {\rm s}.\)

3. A harmadik, \(\displaystyle s-L-d=0{,}3~\rm m\) hosszú szakaszon a rendszer gyorsulása:

\(\displaystyle a_3=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\approx 3{,}21~\frac{\rm m}{\rm s^2 },\)

a végsebesség pedig

\(\displaystyle v_3=\sqrt{v_2^2+2a_3(s-L-d)}\approx3{,}21~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

A mozgás ideje ezen szakaszon:

\(\displaystyle t_3=\frac{v_3-v_2}{a_3}= 0{,}10~ {\rm s},\)

és a rúdban most nem alakul ki mechanikai feszültség.

A mozgás teljes időtartama: \(\displaystyle T=t_1+t_2+t_3\approx0{,}71~ \rm s.\)


Statisztika:

A P. 5057. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi fizika feladatai