Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5058. feladat (2018. október)

P. 5058. Egy hóbortos alaszkai vállalkozó különleges kalandparkot működtet. Egy nagyon magas jéghegy belsejében csavarvonal alakú bobpályát épít. A csavarvonal tengelye függőleges, átmérője \(\displaystyle d\), menetemelkedése \(\displaystyle h\). A pálya a hegy tetejétől indul, és a hegy aljánál egy rövid, súrlódásmentesnek tekinthető kanyar után \(\displaystyle s\) hosszúságú, vízszintes, egyenes szakaszban végződik. A pálya nagyon hosszú (az utasok számára ,,végtelen hosszúnak'' tűnik), és a bobok (amelyeken sem kormány, sem fék nincsen) éppen a vízszintes szakasz végén állnak meg. (Az egyszerűség kedvéért tekintsük a bobokat tömegpontoknak.)

\(\displaystyle a)\) Mekkora a csúszási súrlódási együttható a bob fémteste és a jég között?

\(\displaystyle b)\) Mekkora a bobok legnagyobb sebessége?

Adatok: \(\displaystyle d=10\) m, \(\displaystyle h=1{,}5\) m, \(\displaystyle s=270\) m.

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle m\) tömegű bobok a ,,nagyon hosszú'', csavarvonal alakú pályán valamekkora \(\displaystyle v\) nagyságú állandósult sebességgel mozognak. A pálya meredeksége egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtő meredekségével egyezik meg, ahol

\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{h}{d\pi}.\)

A bob sebességének vízszintes irányú összetevője \(\displaystyle v\cos\alpha\), és a mozgás vízszintes vetülete \(\displaystyle R=d/2\) sugarú egyenletes körmozgás, amit a jégpálya által kifejtett

\(\displaystyle F_1=m\frac{(v\cos\alpha)^2}{R}\)

nagyságú erő biztosít. A jégpálya ezen kívül még

\(\displaystyle F_2=mg\cos\alpha\)

nagyságú, a sebességre és \(\displaystyle {\boldsymbol F}_1\)-re merőleges erőt is kifejt, ez biztosítja, hogy a bob \(\displaystyle \boldsymbol F_2\) irányú (és ezzel együtt a függőleges iurányú) gyorsulása nulla legyen. A pálya által kifejtett nyomóerő \(\displaystyle {\boldsymbol F}_1\) és \(\displaystyle {\boldsymbol F}_2\) vektori összege. Végül a sebességgel ellentétes irányú súrlódási erő

\(\displaystyle S=mg\sin\alpha\)

nagyságú, hiszen (a csavarvonal legnagyobb részén) a bob sebességének nagysága is állandó. A csúszó súrlódás feltétele:

\(\displaystyle mg\sin\alpha=\mu \sqrt{F_1^2+F_2^2},\)

vagyis

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \tg\alpha=\mu \sqrt{1+\left(\frac{2v^2\cos\alpha}{dg} \right)^2}. \)

Az egyenes szakaszon a bob \(\displaystyle \mu g\) lassulással mozog, tehát a megállásáig

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle s=\frac{v^2}{2\mu g}\)

utat tesz meg. Innen a sebességet kifejezve és azt (1)-be helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle \left(\frac{4s}{d}\cos\alpha \right)^2\mu^4+\mu^2-\tg^2\alpha=0.\)

Ez \(\displaystyle \mu^2\)-re nézve másodfokú egyenlet, melynek megoldása \(\displaystyle \mu=0{,}02\), és (2) szerint a bobok legnagyobb sebessége \(\displaystyle v\approx 10{,}4~{\rm m/s=37~\rm km/h}.\)


Statisztika:

A P. 5058. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi fizika feladatai