Problem P. 5059. (October 2018)

P. 5059. How long does an object take to fall into the Sun from a distance of 50 AU from the Sun, if it starts without initial speed? How long does it take to cover half of the distance?

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenesen a Nap felé mozgó test pályája egy olyan ellipszis felével közelíthető (annak határesete), amelynek nagytengelye \(\displaystyle 2a=50\) CSE, kistengelye pedig ehhez képest elhanyagolhatóan kicsi. A Földnél a fél nagytengely 1 CSE, a keringési idő pedig 1 év. Kepler III. törvénye szerint a keringési idő négyzete a fél nagytengely köbével arányos. Ha a (pálya egészéhez képest elhanyagolható méretű) Napba esés ideje \(\displaystyle T\), akkor ez a következőt jelenti:

\(\displaystyle \frac{(2T)^2}{25^3}=1, \qquad \text {vagyis}\qquad T=62{,}5~\text{év}.\)

A pálya feléig (vagyis a Naptól mért 25 CSE távolságig a test valamekkora \(\displaystyle T_0\) idő alatt jut el. Kepler II. törvénye szerint a mozgás bizonyos részének időtartama egyenesen arányos a vezérsugár által súrolt területtel. Nagyítsuk meg az elfajult (majdnem nulla kistengelyű) ellipszist a kistengelye mentén olyan mértékben, hogy az ellipszisből kör jöjjön létre. Ez a nagyítás a súrolt területek arányát nem változtatja meg. Eszerint

\(\displaystyle \frac{T_0}{T}=\frac{\frac{a^2\pi}4+\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\pi}{2}},\)

ahonnan a keresett időtartam:

\(\displaystyle T_0=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\right)T=51{,}1~\text{év}.\)

(A mozgás teljes idejének legnagyobb része tehát a pálya első felének megtételéhez szükséges.)

Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:	Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Boros Máté, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Erdélyi-Nagy Anna , Fekete András Albert, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Gulácsi Máté, Hervay Bence, Jánosdeák Márk, Jánosik Áron, Kozák 023 Áron, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Rozgonyi Gergely, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Takács Árpád, Tiefenbeck Flórián, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás, Viczián Anna.
4 points:	Kupás Lőrinc, Mácsai Dániel.
3 points:	8 students.
2 points:	5 students.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, October 2018