Problem P. 5061. (October 2018)

P. 5061. The equation of the process through which a sample of ideal gas of constant mass taken is the following: \(\displaystyle pV^n=\text{constant}\). \(\displaystyle a)\) What is the value of \(\displaystyle n\) if the process is isothermal, isobaric or adiabatic? \(\displaystyle b)\) What can the value of \(\displaystyle n\) be in the case of air, if the gas releases heat during the process, and still heats up?

(4 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Izotermikus folyamatnál \(\displaystyle n=1\), izobár esetben \(\displaystyle n=0\), adiabatikus állapotváltozásnál pedig

\(\displaystyle n=\kappa= \frac{C_p}{C_V}.\)

A fajhőhányados (mólhőhányados) \(\displaystyle \frac{C_p}{C_V}=\frac{f+2}{f}\) alakban is kifejezhető, ahol \(\displaystyle f\) a gázmolekulák termodinamikai szabadsági fokainak száma.

\(\displaystyle b)\) Mólnyi mennyiségű ideális gáz térfogatának, nyomásának és hőmérsékletének kicsiny relatív megváltozására felírható összefüggések:

\(\displaystyle pV^n=\text{állandó} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\Delta p}{p}+n\frac{\Delta V}{V}=0,\)

\(\displaystyle pV =RT \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\Delta p}{p}+\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta T}{T}.\)

Igaz továbbá (az első főtétel szerint), hogy

\(\displaystyle Q=\Delta E+p\Delta V, \qquad \Rightarrow \qquad C\Delta T=C_V\Delta T+p\Delta V,\)

valamint a Robert Mayer-egyenlet: \(\displaystyle C_p-C_V=R.\)

A fentiekből (algebrai átalakítások után) következik, hogy az \(\displaystyle n\) kitevővel jellemzett (ún. politropikus) állapotváltozáshoz tartozó mólhő:

\(\displaystyle C=\frac{C_p-nC_V}{1-n}.\)

Ha a folyamat során a gáz hőt ad le, miközben felmelegszik, akkor \(\displaystyle C<0\). Ez akkor fordulhat elő, ha

\(\displaystyle 1<n<\frac{C_p}{C_V}=\kappa.\)

Statistics:

18 students sent a solution.
4 points:	Csépányi István, Markó Gábor, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Sal Dávid.
3 points:	Balogh Zsófia, Boros Máté, Hartmann Alice, Horváth 999 Anikó, Kovács Gergely Balázs, Nagyváradi Dániel, Németh Csaba Tibor, Osztényi József, Rozgonyi Gergely, Selmi Bálint.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2018