Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5064. feladat (2018. október)

P. 5064. Az ábrán látható, súrlódásmentesen tengelyezett, \(\displaystyle R=20\) cm sugarú, \(\displaystyle m_1=0{,}2\) kg tömegű, tömör szigetelőkorong peremére \(\displaystyle m_2=0{,}05\) kg tömegű rézgyűrűt erősítettünk, amelynek \(\displaystyle Q=8\cdot10^{-6}\) C töltést adtunk. A korong tengelyére rögzített, \(\displaystyle r=5\) cm sugarú csigára tekert vékony fonálon egy \(\displaystyle M=10\) kg tömegű nehezék függ, amelyet egy adott pillanatban lökésmentesen elengedünk. Indítás után \(\displaystyle t=3\) s múlva mekkora lesz a korong keltette mágneses indukció a korong közepénél? (Az önindukció jelensége figyelmen kívül hagyható.)

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. A korong és a rézgyűrű tehetetlenségi nyomatéka

\(\displaystyle \Theta=\left(\frac{1}{2}m_1+m_2\right)R^2=0{,}006~\rm kg\,m^2.\)

Ha a fonalat \(\displaystyle K\) erő feszíti, akkor a mozgásegyenletek:

\(\displaystyle Mg-K=Ma,\qquad Kr=\Theta\beta,\qquad a=r\beta.\)

Innen a korong szöggyorsulása:

\(\displaystyle \beta=\frac{Mgr}{\Theta+Mr^2}=158~\frac{1}{\rm s^2},\)

a szögsebessége pedig \(\displaystyle t=3~\)s múlva

\(\displaystyle \omega=\beta t=475~\frac{1}{\rm s }.\)

A \(\displaystyle Q\) töltésű rézgyűrű \(\displaystyle T=2\pi/\omega\) idő alatt fordul körbe, vagyis a kerület mentén mozgő töltés

\(\displaystyle I=\frac{Q \omega}{2\pi}=\frac{Q \beta t}{2\pi}=0{,}604~\rm mA\)

áramot képvisel. Ekkora áram a körvezető középpontjában

\(\displaystyle B=\frac{\mu_0I}{2R}=1{,}9\cdot10^{-9} ~\rm T\)

mágneses indukciót hoz létre az adott időpontban.

Megjegyzés. A korong szögsebessége időben növekszik, így a forgás által keltett mágneses indukció is egyre nagyobb lesz. A rézgyűrűn átmenő mágneses fluxus időben változik, ez feszültséget indukál és áramot indít el a rézgyűrűben. Ez az önindukciós eredetű (konduktív) áram (a réz fajlagos ellenállását és a rézgyűrűnek a tömegéből és a hosszából kiszámítható reális keresztmetszetét figyelembe véve) több nagyságrenddel kisebb, mint az elektromosan töltött gyűrű forgásából adódó (konvektív) áram. Jogosan utalt tehát a feladat szövege arra, hogy az önindukciós jelenség figyelmen kívül hagyható.


Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Gulácsi Máté, Jánosik Áron, Kupás Lőrinc, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Sal Dávid, Székely Bálint, Vaszary Tamás.
4 pontot kapott:Andorfi István, Békési Ábel, Csépányi István, Hervay Bence, Hubay Csenge, Markó Gábor, Máth Benedek, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Tafferner Zoltán, Vass Bence.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2018. októberi fizika feladatai