Problem P. 5064. (October 2018)

P. 5064. A copper ring of mass \(\displaystyle m_2=0{.}05\) kg and of charge \(\displaystyle Q=8\cdot10^{-6}\) C is attached to the rim of an insulating disc of mass \(\displaystyle m_1=0{.}2\) kg and of radius \(\displaystyle R=20\) cm. The disc can be rotated frictionlessly. There is a \(\displaystyle M=10\) kg scale weight hanging at the end of a thin thread, which is coiled around a pulley of radius \(\displaystyle r=5\) cm on axle of the disc. The scale weight is released at a certain moment without being pushed. Calculate the magnetic induction due to the rotation of the disc at the centre of the disc, \(\displaystyle t=3\) s after the release of the scale weight. (The phenomenon of self-induction is negligible.)

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A korong és a rézgyűrű tehetetlenségi nyomatéka

\(\displaystyle \Theta=\left(\frac{1}{2}m_1+m_2\right)R^2=0{,}006~\rm kg\,m^2.\)

Ha a fonalat \(\displaystyle K\) erő feszíti, akkor a mozgásegyenletek:

\(\displaystyle Mg-K=Ma,\qquad Kr=\Theta\beta,\qquad a=r\beta.\)

Innen a korong szöggyorsulása:

\(\displaystyle \beta=\frac{Mgr}{\Theta+Mr^2}=158~\frac{1}{\rm s^2},\)

a szögsebessége pedig \(\displaystyle t=3~\)s múlva

\(\displaystyle \omega=\beta t=475~\frac{1}{\rm s }.\)

A \(\displaystyle Q\) töltésű rézgyűrű \(\displaystyle T=2\pi/\omega\) idő alatt fordul körbe, vagyis a kerület mentén mozgő töltés

\(\displaystyle I=\frac{Q \omega}{2\pi}=\frac{Q \beta t}{2\pi}=0{,}604~\rm mA\)

áramot képvisel. Ekkora áram a körvezető középpontjában

\(\displaystyle B=\frac{\mu_0I}{2R}=1{,}9\cdot10^{-9} ~\rm T\)

mágneses indukciót hoz létre az adott időpontban.

Megjegyzés. A korong szögsebessége időben növekszik, így a forgás által keltett mágneses indukció is egyre nagyobb lesz. A rézgyűrűn átmenő mágneses fluxus időben változik, ez feszültséget indukál és áramot indít el a rézgyűrűben. Ez az önindukciós eredetű (konduktív) áram (a réz fajlagos ellenállását és a rézgyűrűnek a tömegéből és a hosszából kiszámítható reális keresztmetszetét figyelembe véve) több nagyságrenddel kisebb, mint az elektromosan töltött gyűrű forgásából adódó (konvektív) áram. Jogosan utalt tehát a feladat szövege arra, hogy az önindukciós jelenség figyelmen kívül hagyható.

Statistics:

34 students sent a solution.
5 points:	Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Gulácsi Máté, Jánosik Áron, Kupás Lőrinc, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid, Székely Bálint, Vaszary Tamás.
4 points:	Andorfi István, Békési Ábel, Csépányi István, Hervay Bence, Hubay Csenge, Markó Gábor, Máth Benedek, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Tafferner Zoltán, Vass Bence.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, October 2018