Problem P. 5071. (November 2018)

P. 5071. A load hanging on an elastic thread is pulled downwards by a force which is increased slowly from 0. The thread breaks at a force of \(\displaystyle F_1\). What is the least value of the force at which the thread breaks, if the force immediately takes that value, and does not change after it?

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Jelöljük a teher súlyát \(\displaystyle G\)-vel, a rugalmas fonál rugóállandóját pedig \(\displaystyle D\)-vel. Amikor a lefelé húzó erőt lassan növeljük, a test folyamatosan (majdnem pontosan) egyensúlyban van, így a fonalat feszítő erő az elszakadást közvetlenül megelőző pillanatban

\(\displaystyle K_0=G+F_1.\)

Ennyi tehát a fonál szakítószilárdsága.

A második esetben a fonál kezdeti megnyúlása (amikor még csak a teher \(\displaystyle G\) súlya húzta)

\(\displaystyle x_1=\frac{G}{D}.\)

Ha ezek után állandó \(\displaystyle F_2\) erőt fejtünk ki, a test eleinte lefelé gyorsul, majd egy maximális sebesség elérése után lassul, és végül megáll. Ha a legnagyobb megnyúlása \(\displaystyle x_2\), és ebben a helyzetben szakad el a fonál, akkor

\(\displaystyle Dx_2=K_0.\)

A legnagyobb megnyúlást a munkatételből határozhatjuk meg:

\(\displaystyle (F_2+G)(x_2-x_1)=\frac{1}{2}Dx_2^2-\frac{1}{2}Dx_1^2,\)

vagyis

\(\displaystyle G+F_2=\frac{D}{2}(x_2+x_1),\)

amelybe behelyettesítve a megnyúlások korábban kiszámított értékét:

\(\displaystyle G+F_2=\frac{D}{2}\left(\frac{G+F_1}{D}+\frac{G}{D}\right).\)

Ebből leolvasható, hogy

\(\displaystyle F_2=\frac{1}{2}F_1.\)

Érdekes, hogy ez az eredmény független a \(\displaystyle G\) súlytól, a \(\displaystyle D\) rugóállandótól és a rugalmas szál hosszától.

Az eredmény megerősíti azt a tapasztalatot, hogy egy fonalat könnyebb egy hirtelen rántással elszakítani, mint folyamatos húzással.

II. megoldás. A rugalmas szál \(\displaystyle K_0=G+F_1\) feszítőerőnél szakad el.

Amíg nem hat külső erő, a fonál \(\displaystyle \Delta x=\frac{G}{D}\) megnyúlás mellett van egyensúlyban. Állandó \(\displaystyle F_2\) erő ,,bekapcsolása'' után az egyensúlyi helyzet \(\displaystyle A=\frac{F_2}{D}\)-vel lejjebb tolódik, és az \(\displaystyle m\) tömegű test \(\displaystyle A\) amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást fog végezni. Induláskor a gyorsulása \(\displaystyle F_2/m\) lefelé, és a pálya legmélyebb pontjában ugyanekkora gyorsulással fog mozogni felfelé. A fonál legnagyobb megnyúlása \(\displaystyle \Delta x+2A\), és a fonálban ébredő legnagyobb erő (amelynél éppen elszakad):

\(\displaystyle D(\Delta x+2A)=D\left(\frac{G}{D}+2\frac{F_2}{D}\right)=K_0=G+F_1,\)

ahonnan látható, hogy

\(\displaystyle F_2=\frac{1}{2}F_1.\)

Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:	Andorfi István, Bokor Endre, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Endrész Balázs, Fiam Regina, Horváth 999 Anikó, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Olosz Adél, Osztényi József, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Tafferner Zoltán, Varga Vázsony.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2018