Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5073. feladat (2018. november)

P. 5073. Függőleges, igen hosszú (végtelennek vehető) egyenes szigetelőszál lineáris töltéssűrűsége \(\displaystyle \lambda= 8\cdot10^{-7}\) C/m. A száltól \(\displaystyle d_0=5\) cm távolságban igen vékony, \(\displaystyle \ell=10\) cm hosszú szigetelőfonálra felfüggesztünk egy \(\displaystyle m=2\) g tömegű, \(\displaystyle q=7\cdot10^{-8}\) C töltésű, kis méretű fémgolyót. A fonál függőleges állapotában a rögzítést lökésmentesen megszüntetjük.

\(\displaystyle a)\) Milyen messzire távolodik el a fémgolyó a szigetelőszáltól?

\(\displaystyle b)\) Mekkora a fonál függőlegessel bezárt szöge, amikor a golyó sebessége maximális? Mekkora ez a maximális sebesség?

\(\displaystyle c)\) Mekkora erő hat a felfüggesztésre, amikor leggyorsabban mozog a golyó?

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


A szigetelőszál körül az elektromos térerősség ,,radiális'', és a nagysága a száltól \(\displaystyle r\) távolságban (az elektrosztatikai Gauss-törvény szerint)

\(\displaystyle E(r)=\frac{2k\lambda}{r}.\)

Ez a térerősség az

\(\displaystyle U(r)=- 2k\lambda \ln \frac{r}{r_0} \)

potenciálnak felel meg, amint az integrálszámítással, vagy a hőtani analógia alapján (az izotermikus munkavégzés képlete alapján) látható be. A potenciál nullpontját önkényesen választott \(\displaystyle r_0\) távolsághoz illesztettük, ez a távolság lehet például fonál függőleges helyzetének megfelelő \(\displaystyle d_0\) érték.

Jelöljük a fonál függőlegessel bezárt szögét \(\displaystyle x\)-szel, és alkalmazzuk az energiamegmaradás tételét! Mivel a szigetelőszáltól mért távolság

\(\displaystyle d=d_0+\ell\sin x,\)

fennáll

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+mg\ell(1-\cos x)-2kq\lambda \ln \frac{d}{d_0}=0,\)

vagyis

\(\displaystyle f(x)\equiv v^2(x)=\frac{4kq\lambda}{m}\, \ln\left( 1+\frac{\ell}{d_0}\sin x\right)-2g\ell(1-\cos x).\)

A megadott mennyiségeket behelyettesítve (SI-egységrendszerben számolva)

\(\displaystyle f(x)=\ln\left( 1+2\sin x\right)-1{,}96\,(1-\cos x).\)

\(\displaystyle a)\) A fémgolyó legnagyobb eltávolodását, vagyis a megállását jellemző szöget az \(\displaystyle f(x)=0\) egyenlet \(\displaystyle (x>0)\) gyöke adja meg. Grafikus ábrázolással, vagy pl. a http://www.wolframalpha.com segítségével megkaphatjuk, hogy \(\displaystyle x\approx 1{,}05 \) rad, azaz kb. \(\displaystyle 60^\circ\). Ennek megfelelően a fémgömb legfeljebb 13,7 cm-re távolodik el a szigetelőszáltól.

\(\displaystyle b)\) Ugyancsak az \(\displaystyle f(x)\) függvény vizsgálatával, a maximumának megkeresésével kapjuk meg a sebesség legnagyobb értékét. Ez \(\displaystyle x\approx 0{,}49\) radiánnál, azaz \(\displaystyle 28^\circ\)-nál található, és \(\displaystyle v_\text{max}=0{,}66~\)m/s.

\(\displaystyle c)\) A legnagyobb sebességnél a fonalat feszítő erő (Newton mozgástörvénye alapján):

\(\displaystyle F=mg\cos x+\frac{mv_\text{max}^2}{\ell}+\frac{2k\lambda q}{d_0+\ell\sin x}\sin x \approx 0{,}03~\rm N.\)


Statisztika:

A P. 5073. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. novemberi fizika feladatai