Problem P. 5076. (November 2018)

P. 5076. A monochromatic laser beam of wavelength \(\displaystyle \lambda\) is incident on a diffraction grating. The beam is perpendicular to the slits of the grating, and encloses an angle of \(\displaystyle 45^\circ\) with the plane of the diffraction grating. Determine the number and the direction of the maxima of the diffraction pattern, if the grating spacing is

\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle d=\lambda\);

\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle d=5\lambda\).

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az erősítés feltétele:

\(\displaystyle d(\sin \alpha-\sin 45^\circ)=n\lambda,\)

vagyis

\(\displaystyle \sin \alpha=\sin 45^\circ+n\frac{\lambda}d,\qquad n=\text{egész}.\)

(\(\displaystyle \alpha\) az interferencia folytán felerősödő nyaláb irányának a rács síkjára merőleges egyenestől mért szöge.) Nyilván teljesülnie kell a \(\displaystyle -1<\sin \alpha<1\) feltételnek.

\(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle d=\lambda\), a megoldandó egyenlet:

\(\displaystyle \sin\alpha=n+0{,}707.\)

Ennek csak 2 megoldása van:

\(\displaystyle n=0, \qquad \alpha=45{,}0^\circ \quad\text{(ez a direkt nyaláb)},\)

\(\displaystyle n=-1,\qquad \alpha=-17{,}0^\circ.\)

A maximumok darabszáma a beesési szögtől függetlenül kettő (\(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=-1\)-nek megfelelően), de a szögek természetesen függnek a rács dőlésszögétől.

\(\displaystyle b)\) Hasonló számolással:

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{n}{5}+0{,}707.\)

Ennek az egyenletnek 10 megoldása van:

\(\displaystyle n=-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,\)

és a megfelelő szórási szögek:

\(\displaystyle -63{,}2^\circ, -43{,}8^\circ,-29{,}5^\circ,-17{,}0^\circ,-5{,}3^\circ,+6{,}1^\circ, +17{,}9^\circ,+30{,}5^\circ,+45{,}0^\circ,+65{,}1^\circ. \)

Általában az elhajlási maximumok száma a beesési szögtől függetlenül kb. \(\displaystyle 2\frac{d}{\lambda},\) de a szóródási szögek a direkt nyalábhoz viszonyítva is, és a rács síkjának normálisához képest is aszimmetrikusan oszlanak el.

Statistics:

9 students sent a solution.
5 points:	Csépányi István, Fülöp Sámuel Sihombing, Makovsky Mihály, Olosz Adél.
4 points:	Elek Péter.
2 points:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2018