Problem P. 5079. (December 2018)
P. 5079. Some plasticine balls, which have a hole through them and the same mass, can slide along a long straight rod. If the rod is in a slightly slant position the balls cannot start sliding, but if they are started they slide down with some acceleration. Gently starting the uppermost ball it reaches the ball below it. They stick and slide together. They hit the ball below them, stick to it and slide together, and so on. We can observe that each collision occurs at the same speed. What was the initial distance \(\displaystyle L_n\) between the \(\displaystyle n\)-th and the \(\displaystyle (n+1)\)-st ball if the distance between the first two balls was \(\displaystyle L_1\)?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Írjuk fel a munkatételt az indulástól az első ütközés előtti \(\displaystyle v_0\) sebességű állapotig! Ha egy-egy gyurmagolyó tömege \(\displaystyle m\), akkor
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2= mgL_1\sin\alpha-\mu mg L_1\cos\alpha,\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_0^2= 2L_1g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha).\) |
Az \(\displaystyle n\)-edik gyurmagolyónak \(\displaystyle (n-1)\) darab, tehát \(\displaystyle (n-1)m\) tömegű, már összetapadt gyurma ütközik \(\displaystyle v_0\) sebességgel. A rugalmatlan ütközés utáni sebességük
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle u_n=\frac{n-1}{n}v_0,\) |
a tömegük \(\displaystyle nm\) lesz.
A továbbiakban alkalmazhatjuk a munkatételt az \(\displaystyle (n+1)\)-edik golyó eléréséig terjedő útszakaszon:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle n\cdot\frac{1}2mv_0^2= n\frac{1}2mu_n^2+mgn(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\cdot L_n.\) |
Az (1), (2) és (3) egyenletből a keresett távolságok kifejezhetők:
\(\displaystyle L_n=\frac{2n-1}{n^2}L_1.\)
Statistics:
61 students sent a solution. 5 points: Andorfi István, Arhaan Ahmad, Balogh Zsófia, Békési Ábel, Bokor Endre, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Endrész Balázs, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hervay Bence, Hisham Mohammed Almalki, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kertész Balázs, Klučka Vivien, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagyváradi Dániel, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Schneider Anna, Szabó 314 László, Szoboszlai Szilveszter, Tafferner Zoltán, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Tran Quoc Dat, Varga Vázsony, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Virág Levente. 4 points: 5 students. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 1 point: 5 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, December 2018