Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5081. feladat (2018. december)

P. 5081. Mekkora az ábrán látható ellenálláshálózat eredő ellenállása a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok között, ha mindegyik ellenállás \(\displaystyle R\) nagyságú? Hány százalékkal változik meg a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok közötti eredő ellenállás, ha az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti ellenállást kivesszük?

Közli: Tornyos Tivadar Eörs, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jobbról balra haladva egymás után kiszámíthatjuk az \(\displaystyle n\) ,,függőleges'' és hozzá kapcsolódó \(\displaystyle 2n\) ,,vízszintes'' ellenállás \(\displaystyle R_n\) eredőjét a vízszintes szárak két végpontja között (\(\displaystyle R\) egységekben):

\(\displaystyle R_1=3{,}000, \qquad R_{n+1}= \frac{R_n}{R_n+1}+2;\)

\(\displaystyle R_2 =\tfrac{11}{4}=2{,}750;\)

\(\displaystyle R_3=\tfrac{41}{15}=2{,}733;\)

\(\displaystyle R_4=\tfrac{153}{56}=2{,}732;\)

\(\displaystyle R_5=\tfrac{571}{209}=2{,}732=R_{CD}.\)

A ,,végtelen hosszú'' lánc ellenállása a

\(\displaystyle \frac{R_\infty}{R_\infty+1}+2=R_\infty\)

rekurziós formulából

\(\displaystyle R_\infty=1+\sqrt{3}=2{,}732.\)

Látható, hogy a létrakapcsolás eredő ellenállása nagyon gyorsan közelít a ,,végtelen hosszú'' létra eredőjéhez, már a háromfokú létrát jól közelíti az aszimptotikus képlet.

Hasonló módon kapjuk, hogy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) közötti ellenállás kiiktatása után:

\(\displaystyle R_1=3{,}000;\)

\(\displaystyle R_2 =\tfrac{11}{4}=2{,}750;\)

\(\displaystyle R_3=\tfrac{19}{4}=4{,}75;\)

\(\displaystyle R_4 =\tfrac{65}{23}=2{,}826;\)

\(\displaystyle R_5 =\tfrac{241}{88}=2{,}738=R_{CD};\)

(tehát kb. 0,24%-kal növekedett meg a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontok közötti ellenállás)

\(\displaystyle \cdots\)

\(\displaystyle R_\infty=1+\sqrt{3}=2{,}732.\)

Itt az figyelhető meg, hogy a létra egyik ágának megváltoztatása ,,megzavarja'' ugyan a határértékhez közelítést, de a fokok számának növekedtével a sorozat hamar ,,elfelejti'' ezt a zavart, és néhány ,,lépés'' után már jól közelíti az aszimptotikus értéket.


Statisztika:

A P. 5081. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi fizika feladatai