Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5088. feladat (2018. december)

P. 5088. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálingát vízszintesen kitérítünk, majd elengedünk. Amikor a fonál eléri a függőleges helyzetét, egy szögbe ütközik, s innen kezdve már csak az alsó, \(\displaystyle r\) hosszúságú része lendül tovább.

Mekkora az \(\displaystyle r/\ell\) arány, ha az ingatest, miután felfelé haladva letér valahol a körpályáról, szabadon mozogva pontosan a szögbe ütközik?

Közli: Radnai Gyula, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Amikor az ingatest már a szög ,,túlsó oldalán'' felfelé halad és az inga fonala \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel (lásd az ábrát), az energiamegmaradás törvénye szerint a sebessége:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle v=\sqrt{2g(\ell-r-r\cos\alpha)},\)

a fonalát feszítő erő pedig (a Newton-egyenlet alapján):

\(\displaystyle N=\frac{mv^2}{r}-mg\cos\alpha.\)

Ha \(\displaystyle N\) nullává válik, majd negatív lesz, a fonál meglazul. Határesetben (amikor a meglazulás elkezdődik):

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle v^2=gr\cos\alpha,\)

vagyis (1) felhasználásával

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle \frac{\ell}{r}=\frac{3}{2}\cos\alpha+1.\)

A \(\displaystyle v\) kezdősebességgel \(\displaystyle \alpha\) szögben elinduló, majd szabadon eső ingatest akkor ütközik \(\displaystyle t\) idő múlva a szögnek, ha fennáll, hogy

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle vt\cos\alpha=r\sin\alpha,\)
\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle vt\sin\alpha-\frac{g}{2}t^2=-r\cos\alpha.\)

(4)-ből az időt kifejezve és (5)-be helyettesítve

\(\displaystyle \frac{2v^2}{rg\cos\alpha}=\tg^2\alpha\)

adódik, amiből (2) felhasználásával

\(\displaystyle \tg\alpha=\sqrt{2}, \qquad \text{vagyis} \qquad \alpha\approx 54{,}7^\circ\)

következik. A keresett hosszúságarány (3) szerint

\(\displaystyle \frac{r}{\ell}=2\left(2-\sqrt3\right)\approx 0{,}54.\)


Statisztika:

A P. 5088. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. decemberi fizika feladatai