Problem P. 5088. (December 2018)
P. 5088. The bob of a simple pendulum of length \(\displaystyle \ell\) is displaced horizontally and then released. When the thread reaches the vertical position, it hits a nail and from that moment onward only the lower part of the thread of length \(\displaystyle r\) is moving.
What is the ratio of \(\displaystyle r/\ell\), if the bob leaves the circular orbit somewhere in its upward motion, and then moving freely it exactly bumps into the nail?
(6 pont)
Deadline expired on January 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Amikor az ingatest már a szög ,,túlsó oldalán'' felfelé halad és az inga fonala \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel (lásd az ábrát), az energiamegmaradás törvénye szerint a sebessége:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v=\sqrt{2g(\ell-r-r\cos\alpha)},\) |
a fonalát feszítő erő pedig (a Newton-egyenlet alapján):
\(\displaystyle N=\frac{mv^2}{r}-mg\cos\alpha.\)
Ha \(\displaystyle N\) nullává válik, majd negatív lesz, a fonál meglazul. Határesetben (amikor a meglazulás elkezdődik):
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v^2=gr\cos\alpha,\) |
vagyis (1) felhasználásával
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{\ell}{r}=\frac{3}{2}\cos\alpha+1.\) |
A \(\displaystyle v\) kezdősebességgel \(\displaystyle \alpha\) szögben elinduló, majd szabadon eső ingatest akkor ütközik \(\displaystyle t\) idő múlva a szögnek, ha fennáll, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle vt\cos\alpha=r\sin\alpha,\) |
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle vt\sin\alpha-\frac{g}{2}t^2=-r\cos\alpha.\) |
(4)-ből az időt kifejezve és (5)-be helyettesítve
\(\displaystyle \frac{2v^2}{rg\cos\alpha}=\tg^2\alpha\)
adódik, amiből (2) felhasználásával
\(\displaystyle \tg\alpha=\sqrt{2}, \qquad \text{vagyis} \qquad \alpha\approx 54{,}7^\circ\)
következik. A keresett hosszúságarány (3) szerint
\(\displaystyle \frac{r}{\ell}=2\left(2-\sqrt3\right)\approx 0{,}54.\)
Statistics:
39 students sent a solution. 6 points: Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Fekete András Albert, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Hisham Mohammed Almalki, Horváth 999 Anikó, Kovács 111 Bence, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Tran Quoc Dat, Varga Vázsony, Vaszary Tamás, Virág Levente. 5 points: Hervay Bence, Merkl Gergely, Viczián Anna. 4 points: 2 students. 3 points: 4 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2018