Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5090. feladat (2019. január)

P. 5090. Vízszintes talajon egy \(\displaystyle m\) tömegű, kocka alakú doboz áll. A doboz egyik lapjának közepéhez egy ugyancsak \(\displaystyle m\) tömegű, vékony, homogén pálca támaszkodik. Kezdetben mindkét testet rögzítetten tartjuk. A pálca és a talaj által bezárt szög \(\displaystyle \alpha=45^\circ\).

Mekkora gyorsulással indul el a doboz, ha a testeket elengedjük? (A súrlódás mindenhol elhanyagolható.)

Közli: Berke Martin, Zalaegerszeg, Zrínyi Miklós Gimnázium

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.


I. megoldás. Vegyük fel az egyes testekre ható erőket és a testek gyorsulását (szöggyorsulását) az 1. ábrán látható módon. Itt már kihasználtuk, hogy a tömegközépponti tétel értelmében a doboz és pálca tömegközéppontjának vízszintes gyorsulása egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú.


1. ábra

A mozgásegyenletek:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle F=ma,\)
\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle mg-N=mA,\)
\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle N\frac{\ell}{2\sqrt2}-F\frac{\ell}{2\sqrt2}=\frac{m\ell^2}{12}\beta.\)

Ezekhez a mozgásegyenletekhez két kényszerfeltétel (a pálca felső végének vízszintes irányú gyorsulására és az alsó végének függőleges irányú gyorsulására vonatkozó megszorítás) járul:

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle a-\frac{\ell}{2}\beta \frac{1}{\sqrt2}=-a,\)
\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle \frac{\ell}{2}\beta \frac{1}{\sqrt2}=A.\)

Az (1)-(5) egyenletből az öt ismeretlen (\(\displaystyle F\), \(\displaystyle N\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle \beta\)) meghatározható, és a doboz keresett gyorsulására

\(\displaystyle a=\frac{3}{13}g\)

eredmény adódik.

II. megoldás. Számítsuk ki az energiamegmaradás törvényének felhasználásával, hogy mekkora sebességre gyorsul fel a doboz az indítást követő nagyon rövid \(\displaystyle t\) idő alatt. Ha a testek sebessége (szögsebessége) a 2. ábrán látható nagyságú, akkor az energiatétel szerint

\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}m\left(v^2+u^2\right)+\frac{1}{2}\, \frac{m\ell^2}{12}\omega^2=mgh,\)

ahol \(\displaystyle h\) a pálca tömegközéppontjának lesüllyedése \(\displaystyle t\) idő alatt.


2. ábra

A kényszerfeltételek (miszerint a pálca végpontjai nem távolodnak el a doboztól, illetve a talajtól):

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle \frac{\ell}{2}\omega \frac{1}{\sqrt2}-v=v,\)
\(\displaystyle (8).\)\(\displaystyle \frac{\ell}{2}\omega \frac{1}{\sqrt2}-u=0,\)

A (6)-(8) egyenletből (\(\displaystyle \beta\) kiküszöbölése után)

\(\displaystyle (9)\)\(\displaystyle \frac{26}{3}v^2=2gh\qquad \text{és} \qquad u=2v\)

adódik.

Az indulást követő nagyon rövid idő alatt a doboz mozgása \(\displaystyle a\) gyorsulású egyenletesen változó mozgásnak tekinthető, és így a

\(\displaystyle v=at,\qquad \text{valamint} \qquad h=\frac{1}{2}ut=vt=at^2\)

összefüggések teljesülnek. Ezeket (9)-be helyettesítve a

\(\displaystyle \frac{26}{3}a^2t^2=2g\cdot at^2,\)

vagyis az

\(\displaystyle a=\frac{3}{13}g\)

végeredményt kapjuk.

Megjegyzés. Az energiamegmaradásra hivatkozó megoldás azért kényelmes, mert nincs szükség a belső erők (\(\displaystyle N\) és \(\displaystyle F\)) felvételére, hiszen ezek munkavégzése nulla.


Statisztika:

A P. 5090. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. januári fizika feladatai